35 ?C5?()3?()2?C54?()4?()1?C5?()5
1434143414?53?0.1035 51215．假设一保险公司在任何长为t的时间内发生索赔的次数N(t)服从参数为?t(??0)的泊松分布，试求：（1）相继两次索赔之间时间间隔Y的分布；（2）在保险公司6小时内无索赔的情况下，再过4小时仍无索赔的概率. 解 （1）当y?0时，
(?y)0??yP(Y?y)?P(N(y)?0)?e?e??y，
0!故，FY(y)?1?P(Y?y)?1?e??y；
当y?0时，FY(y)?P(Y?y)?0. 从而，Y的密度函数为
??y???e,fY(y)????0,y?0,y?0.
故，Y?Exp(?).
（2）所求概率为P(Y?6?4|Y?6). 由第10题的结论知
P(Y?6?4|Y?6)?P(Y?4)?e?4?.
16．设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，其密度函数f(x)为偶函数. 试证明：对任意实数a?0，有
（1）F(?a)?1?F(a)?1a??f(x)dx； 20（2）P(|X|?a)?2F(a)?1； （3）P(|X|?a)?2(1?F(a)).
证明 由于f(x)为偶函数，所以，f(?x)?f(x). 从而，
?0??f(x)dx????0f(x)dx. 又
?????f(x)dx?1，所以，?（1） F(?a)?0??f(x)dx??y??x??0f(x)dx?1. 2??a??a??f(x)dx?a?????af(?y)dy??f(y)dy
?1??
f(y)dy?1?F(a).
16
又
?a??f(y)dy??0??a1f(y)dy??f(y)dy???f(y)dy. 所以，由上式知，
0201a1a1?F(a)?1???f(y)dy???f(y)dy.
2020a（2）P(|X|?a)?F(a)?F(?a)?F(a)?(1?F(a))?2F(a)?1. （3）P(|X|?a)?1?P(|X|?a)?1?(2F(a)?1)?2(1?F(a)). 17．设随机变量X?N(1,4)，试求：
（1）P(X?6)；（2）P(?2?X?3)；（3）P(X?7). 解 （1）P(X?6)??(6?1)??(2.5)?0.9938； 23?1?2?1（2）P(?2?X?3)??()??()??(1)?(1??(1.5))?0.7745；
227?1（3）P(X?7)?1?P(X?7)?1??()?1??(3)?0.00135.
218．设随机变量Z?U(?2,2)，随机变量
???1,X????1,Z??1,Z??1; Y?????1,??1,Z?1,Z?1.
试求：（1）二维随机变量(X,Y)的联合分布列；（2）(X,Y)的联合分布函数F(x,y). 解 （1）由Z?U(?2,2)知其密度函数为
?1?,?2?z?2,f(z)??4
?0,其他.?P(X??1,Y??1)?P(Z??1,Z?1)?P(Z??1)??P(X??1,Y?1)?P(Z??1,Z?1)?0；
?1?211dz?； 4411dz?； ?142211P(X?1,Y?1)?P(Z??1,Z?1)?P(Z?1)??dz?.
144P(X?1,Y??1)?P(Z??1,Z?1)?P(?1?Z?1)??1故，(X,Y)的联合分布列为
17
Y X ?1 ?1 1
1 0 4 1 11 24（2）当x??1或y??1时，F(x,y)?0；
当?1?x?1,?1?y?1时，F(x,y)?P(X??1,Y??1)?1； 41； 4当?1?x?1,y?1时，F(x,y)?P(X??1,Y??1)?P(X??1,Y?1)?当x?1,?1?y?1时，F(x,y)?P(X??1,Y??1)?P(X?1,Y?1)?当x?1,y?1时，F(x,y)?1. 从而，
3； 4?1?4,??3,F(x,y)??4??1,?0,??1?x?1,y??1x?1,?1?y?1, x?1,y?1,其他.19．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为
??k(x?y),f(x,y)????0,0?x?1,0?y?1,其他.
试求：（1）常数k的值；（2）X与Y的边缘密度函数fX(x)及fY(y)；（3）P(X?Y?1)及
1P(X?).
2解 （1）1???????????f(x,y)dxdy??f(x,y)dy.
1100?k(x?y)dxdy?k.
（2）fX(x)?????? 当x?0或x?1时，fX(x)?0； 当0?x?1时，fX(x)??10(x?y)dy?x?1. 2 18
故，
1?x?,?2fX(x)???0,?类似地，
0?x?1,其他.
1?y?,?2fY(y)???0?y?1,
?0,其他.（3）P(X?Y?1)??10(?1?x0(x?y)dy)dx?13； P(X?11212132)????fX(x)dx??0(x?2)dx?8
或??120(?10(x?y)dy)dx?38.
20．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为
f(x,y)????1,0?x?1,0?y?2x, ??0,其他.试求：（1）X与Y的边缘密度函数fX(x)及fY(y)；（2）X与Y相互独立吗？（Z?2X?Y的密度函数fZ(z).
解 （1）f??X(x)????f(x,y)dy.
当x?0或x?1时，fX(x)?0； 当0?x?1时，fX(x)??2x01dy?2x.
故，
f(x)????2x,0?x?1,X
??0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx.
当y?0或y?2时，fY(y)?0； 当0?y?1时，fY(y)??1y21dx?1?y2. 故，
19
3）
?y?1?,fY(y)??2?0,?0?y?2,其他.
（2）由于当(x,y)?{0?x?1,0?y?2x}时，
f(x,y)?fX(x)?fY(y)，
且区域{0?x?1,0?y?2x}的面积不为0，所以，X与Y不相互独立. （3）先求Z?2X?Y的分布函数FZ(z).
FZ(z)?P(Z?z)?P(2X?Y?z).
z?0，即z?0时，FZ(z)?0； 2z当0??1，即0?z?2时，
2当
FZ(z)??(?1dy)dx??(?00z2z22x111dy)dx?z?z2； 2x?z42x12xz当?1，即z?2时，FZ(z)??(?1dy)dx?1.
002从而，
?0,??1FZ(z)??z?z2,?4?1,?所以，Z?2X?Y的密度函数为
z?0,0?z?2, z?2.?z?1?,fZ(z)??2?0,?21．设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列
0?z?2,其他.
Y 0 1 2 X
0.1 0.2 0.1 1
0.15 0.3 0.15 2
试求：（1）X与Y的边缘分布列；（2）在Y的条件下，X的条件分布列；（3）X与Y相互独立吗？ 解 （1）
20