第一章 函数
在自然科学，工程技术，甚至在某些社会科学中，函数时被广泛应用的数学概念之一，其重要意义远远超出了数学范围.在数学中函数处于基础的核心地位.函数不仅是贯穿于中学教学的一条主线，它也是数学分析这门课程研究的对象.
中学教学应用“集合”与“对应”已经给出了函数概念，并在此基础上，应用函数的图形，直观的了解了函数的一些简单性质.本章除对中学教学的函数及其性质重点复习外，根据本课与后继课的需要，将对函数作深入的讨论.
§1．1 函数
一、函数概念
在自然现象或技术过程中，常常有几个量在同时变化，它们的变化并非彼此无关，而是互相联系着.这是物质世界的一个普遍规律，下面列举几个有两个变量互相联系着的例子：
例1 真空中自由落体，物体下落的时间t与下落的距离s互相联系着.如果物体距离地面的高度为h，
?t??0,?
?2h??
?g?? 当t?2hg时，由s?12gt2，
有s?h，即物体下落到地面.
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都对应一个距离s.已知t与s之间的对应关系是 s?12gt，
其中g是重力加速度，是常数.
例2 球的半径r与该球的体积V互相联系着。?r??0,???都对应唯一一个球的体积V。已知r与V之间的对应关系是
V?43?r，
3其中是圆周率，是常数.
例3 某地某日时间t与气温T互相联系着，如图1.1.对13至23时内任意时间t都对应着唯一一个气温T.已知t与T的对应关系是图1.1中的气温曲线.横坐标表示时间t，纵坐标表示气温T.曲线上任意点P(t,T)表示在时间t对应着的气温是T.
例4 在气压为101.325kPa时，温度T与水的体积V互相联系着，实测如下表：
T/100℃ 0 2 4 6 8 10 12 14 V/cm 100 99.990 99.987 99.990 99.998 100.012 100.032 3100.057
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对{0,2,4,6,8,10,12,14}中每个温度T都对应唯一一个体积V，已知
T与V的对应关系用上面的表格表示.
例5 ?x?R都对应唯一一个数y=sin x,即x与y之间的对应关系是
y=sin x. 例6 ?x???5,??都对应着唯一一个数y=3x2+x-1，即x与y之间的对应关系是
y=3x2+x-1.
上述前四个实例，分属于不同的学科，实际意义完全不同.但是，从数学的角度看，它们与后两个例子却有共同的特征：都有一个数集和一个对应关系，对于数集中任意数x，按照对应关系都对应R中唯一一个数.于是有如下的函数概念：
定义 设A是非空实数集.若存在对应关系f，对A中任意数
x(?x?A),按照对应关系f，对应唯一一个y?R则称f是定义在A上
的函数，记为
??R. f:A?数对应的数称为的函数值，记为.称为自变量，称为因变量.数集称为函数的定义域，函数值的集合称为函数的值域.
函数的值域可能是或是的真子集.我们看到，这里的与是不同的，反映是从出发到内的对应.
根据函数的定义，不难看到，上述六例皆为函数的实例. 关于函数概念的几点说明：
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1）函数由两个因素完全确定，一个是函数f的定义域A;另一个是函数的对应关系f,即?x?A,按照对应关系f,都对应唯一一个
y?R,读者一定要认清 ,符号f与f(x)之间的区别.函数f是对应关
系（或对应法则），f(x）是自变量x所对应的函数值，是实数，这是两个不同的概念，是不能混淆的.用符号“f:A???R”表示f是定义在数集A上的函数,十分清楚、 明确.特别是在抽象的学科中使用这个函数符号更显得方便.但是,在数学分析中,一方面要讨论抽象的函数f;另一方面又要讨论大量具体的函数.在具体函数中需要将对应关系f具体化,使用这个函数符号就有些不便.为此在本书中约定,将 “f是定义在数集 A 上的函数” 用符号 “ y =f( x), x∈ A” 表示.当不需要指明函数 f的定义域时,又可简写为“y = f( x)” ,有时甚至笼统地说 “f( x)是 x 的函数(值)” .严格地讲,这样的符号和叙述混淆了函数与函数值.这仅是为了方便而作的约定.
2）在函数概念中,对应关系 f是抽象的,只有在具体函数中,对应关系 f才是具体的.例如,在上述几个例子中:
例1, f是一组运算: t的平方乘以常数
112??g?x?gt?2?2?43
3例2, f是一组运算: r的立方乘以常数 例3, f是图 1 . 1 所示的气温曲线. 例4, f是所列温度对应的体积的表格.
??V???43?r?? ?为了对函数f有个直观形象的认识,可将f 比喻为一部“数值变换器”.将任意 x∈ A 输入到数值变换器之中,通过f的“作用”,
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输出来的就是 y.不同的函数就是不同的数值变换器,如图1.2.
图1.2
3) 根据函数定义,函数都存在定义域,但是常常并不明确指出函数y = f( x)的定义域,这时认为函数的定义域是自明的,即定义域是使函数y = f( x)有意义的实数x的集合A ={x| f(x)∈R}.例如,函数f?x??f?x??1?1?2x没有指出它的定义域,那么它的定义域就是使函数
2x有意义的实数x的集合,即闭区间[ - 1,1] =
2{ x|
1?x?R}.
具有实际意义的函数,它的定义域要受实际意义的约束.例如,上述的例2,半径为r的球的体积 V?43?r3
这个函数,从抽象的函数来说,
r可取任意实数;从它的实际意义来说,半径r不能取负数.因此,它的
定义域是区间[0, + ∞).
4）函数定义指出: “?x∈A ,按照对应关系f, 对应唯一一个y∈R”,这样的对应就是所谓单值对应.反之,一个y∈f( A )就不一定只有一个x∈A,使y = f( x).这是因为,在函数定义中只是说,一个 x∈ A,按照对应关系 f,只对应唯一一个 y∈ R,并没有说,不同的 x 对应不同的 y,即不同的 x 可能对应相同的 y. 例如,函数 y = s in
x. ?x∈ R,按照对应关系 s in,对应唯一一个 y =s in x∈R,反之,
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