动能E是速度的函数时间t的函数，即 其中g是重力加速度.
.于是，通过中间变量，动能E就是
,
以上是两个函数生成的复合函数.不难将复合函数概念推广到有限个函数生成的复合函数.例如，三个函数
生成的复合函数是
,
.
我们不仅能够将若干个简单函数生成为复合函数，而且还要将复合函数“分解”为若干个简单函数.例如，函数
是由五个简单函数生成的复合函数.
请注意，不是任何两个函数都能构成复合函数.例如，
,这两个函数不能构成复合函数. 这是因为，
的定义域是区间. 而它们的并是空集.
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所
，而 的值域是区间
.
注
是函数与?的一种运算——复合运算. 一般来说，（尽管个别点的函数值可能相等，但是作为函数不相等）.
例如，设
（
,则
这说明函数的复合运算与加、乘运算不同，它不满足交换律.容易证明它满足结合律：
二、反函数
我们在高中数学已经学习了反函数，如对数函数是指数函数的反函数，反三角函数是三角函数的反函数. 鉴于反函数的重要性，本段将复习反函数的概念及其图像.
在圆的面积公式（函数）
中，半径r是自变量，面积S是因变量，即对任意半径
对应唯一一个面积S.这个函数还有一个性质：反之，对任意面积
，按此对应关系，也对应唯一一个半径r（正数），即
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函数
的反函数. 由函数定义，
，按照对应
就是所谓函数
对给定的函数关系?，对应唯一一个就不一定只有一个
，使
,即单位对应. 反过来，
，即一个函数不一存在反函数.
什么样的函数存在反函数呢？
定义 设函数
,有
在数集A有定义，它的值域是
，若
则称函数
函数为不同的
定义 设函数
上一一对应.
上一一对应,就是?把不同的，即
只有唯一一个
对应，使
上一一对应，即，
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存在唯一一个，使，这是一个由到A新的对应关系，
称为函数y=?(x)的反函数，表示为
,
.
的定义域和值域与
互
由反函数的定义不难看到，反函数 恰好是函数为反函数，有
例1 函数
.
.
的值域和定义域. 函数
的定义域是R，值域也是R. 按照y=2x+1,
则
（值域），对应R（定义域）中唯一一个x，即函数
例2 指数函数+∞）.按照
，的反函数是
（0
，对应R中唯一一个x，这个的反函数，即对数函数
函数就是我们已知的指数函数
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,.
由函数的严格单调的定义不难证明： 定理1 若函数函数
在数集A严格增加（或严格减少），则
在
也严格增加
存在反函数，且反函数
（严格减少）.
证明 若函数. 即到
设 因此，
，则有存在反函数
,且， （或, 有
（或
）.
在A严格增加（或严格减少），值域是
，故A到?(A)是一一对应的. 从而A.
，则存在
.
）.由?(x)的严格增加（或，即
（或
，使
严格减少），有
）.
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