0 x -1 -2 -3 图1.17
y 3 2 1 0 -1 -2 -3 图1.18 事实上， tan(x+)=tan x
x
26
cot()=cot x.
例17 函数y={x}是以1为周期的周期函数，如图1.4. 事实上,
{x+1}=(x+1)-[x+1] =x+1-[x]-1 =x-[x]={x} 即
{x+1}={x}
例18 设f(x)=
1)将函数f(x)延拓到R上，使其成为偶函数；
2)将函数f(x)延拓到R上，使其成为以1为周期的周期函数 解 1)将函数f(x)=在R上是偶函数.
2)将函数f(x)延拓到R上，即f(x)=就是以1为周期的周期函数
例19 设函数f(x)既关于直线x=a对称，又关于直线x=b对称，已知a 证明 已知函数f(x)关于直线x=a对称，是关于直线x=a的两个对称点，有 27 延拓到R上，即f(x)=，这个函数 ，这个函数 ，a-x与a+x f(a-x)=f(a+x). (1) 又已知函数f(x)关于直线x=b对称，同样，有 f(b-x)=f(b+x). (2) 即函数f(x)是周期函数，且周期是2(b-a)>0. ,有 f(x)=f[a-(a-x)]=f[a+(a-x)] 由(1) =f(2a-x) =f[b-(x+b-2a)] (2) = f[b+(x+b-2a)] =f[x+2(b-a)], 即函数f(x)是周期函数，且周期是2(b-a)>0. §1.3 复合函数与反函数 一、复合函数 28 由 由两个或两个以上的函数用所谓“中间变量”传递的方法能生成新的函数. 例如，函数 与 由“中间变量”y的传递生成新的函数 在这里，z是y的函数，y又是x的函数. 于是，通过中间变量y的传递得到z是x的函数. 为了使函数为了使函数 必须要求 有意义，必须要求. 仅对函数 , 来说，x 可取任意实数. 但是对生成的新函数 . 定义 设函数集A上，G是A中使 定义在数集B上，函数 来说，必须要求 定义在数 的x的非空子集，如图1.19，即 . ,再按照对应关系?对应 ,按照对应关系，对应唯一一个唯一一个z，如图1.19，即了一个函数，记为 都对应唯一一个z.于是在G上定义 的复合函数， ，称为函数 29 即 ， ， 的 y称为中间变量，如图1.20.今后经常将函数复合函数表示为 . x?GG x B y y f A ?( ) ? y f( ) z?f[?(x)] z z 图1.19 图1.20 例如，函数 的定义域是区间 函数 的定义域是R，为了使其生成复合函数，必须要求 于是， ,函数 . 生成了复合函数 例如，质量为m的物体自由下落.已知速度是时间t的函数=gt, 30