与
例9 证明：若函数f(x)与g(x)在数集A上是严格增加（或单调增加），则他们的和f(x)+g(x)在数集A上也是严格增加（或单调增加）. 证明
f()
）,
则它们的和f(x)+g(x)在A上也是严格增加（或单调增加） 若将和换为乘，情况如何，请考虑.
例10 证明：若数列{}是单调增加，且有上界，则数列{}也是单调增加，且有上界，其中证明 由已知条件，有
.
有
21
即数列{}也是单调增加.
即数列{}有上界. 三、奇函数与偶函数
定义 函数f(x)定义在数集A.若
f(-x)=-f(x) (f(-x)=f(x))
则称函数f(x)是奇函数（偶函数）
显然，一个函数f(x)具有奇偶性，它的定义域必是关于原点对称。
如果点
在奇函数y=f(x)的图像上，即f()=-f()=-即原点对称.
常值函数是偶函数.函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数.常值函数
22
,则
也在奇函数y=f(x)的图像上.于是奇函数的图象关于
f(x)是奇函数，则必有f(x)=0.
例11 正弦函数y=sinx是奇函数，如图1.8；余弦函数y=cosx是偶函数，如图1.9 . 事实上,
，且
sin(-x)=-sinx 与cos(-x)=cosx.
例12 反正弦函数y=arcsin x是奇函数，如图1.14.反正切函数y=arctan x也是奇函数,如图1.10. 事实上，
arcsin (-x)=-arcsin x.
arctan(-x)=-arctan x.
例13 幂函数y=
是偶函数，如图1.16；y=
是奇函数，如图
1.16，其中k是自然数. 事实上，
y y= y= y=x (1,1)
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0 x y= (-1,-1) 图1.16
例14 判别：1)狄利克雷函数D(x)的奇偶性； 2)函数解 1)
D(x)=D(-x)=1与D(y)=D(-y)=0，
故狄利克雷函数D(x)是偶函数
2）f(x)+f(-x)=
的奇偶性，其中a>0,a
或f(x)=-f(x),即f（x）是奇函数. 四、周期函数
定义 设函数f(x)定义在数集AR.
f(x+l)=f(x),
则称函数f(x)是周期函数，l称为f(x)的一个周期.
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显然，数集A在R中必是无界的.
若l是函数f(x)的周期，则2l也是它的周期.事实上,
不难用归纳法证明，若l是函数f(x)的周期，则nl（n是正整数）也是它的周期.若函数f(x)有最小的的正周期，通常将这个最小的正周期称为函数f(x)的基本周期，简称为周期
描绘周期函数的图像，只要在一个周期长的区间上描绘出函数的图像，然后将此图像一个周期一个周期向左、右平移，就得到了整个周期函数的图像
常值函数f(x)=c，任意非零的正数p都是它的周期，但没有最小的正周期
例15 正弦函数y=sin x与余弦函数y=cos x都是在R上以2为周期的周期函数，如图1.8与1.9 事实上
sin(x+2)=sin x 与 cos(x+2)=cos x
例16 正切函数y=tan x与余切函数y=cot x都是在定义域上以为周期的周期函数，如图1.17与1.18.
Y y=tan x 3 2 1
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