于是，反函数是严格增加（或严格减少）.
因为例1与例2所给的函数在其定义域都是严格单调的，所以根据定理1，它们都存在严格单调的反函数.
函数的严格单调性是它存在反函数的充分条件，而不是必要条件.例如，函数 在区间存在反函数
y
=
却
不是单调函数，如图1.21.但是，它在
O 图1.21
x
一般来说，函数在定义域上不一定存在反函数. 但是，将函数限定在定义域的某个子集上，就可能存在反函数. 例如，函数 定义域R不存在反函数（即将函数
在
对应两个不同的
，函数
）.但是，是严格增加的，
36
限定在区间
根据定理1，它存在严格增加的反函数，反函数是
.
三角函数
，
在各自的定义域上都不存在反
函数. 为了讨论它们的反函数，我们约定，如果存在以原点为中心的严格单调区间，就在这个严格单调区间上定义反三角函数的主值. 例如，正弦函数
在
与正切函数
在
都是严格增加的. 根据定理1，它们都存在严格增加的反函数，正弦函数
的反函数就是反正弦函数的反函数就是反正切函数
. 正切函数
. 如果不存在以原点
为中心的严格单调区间，我们约定，在原点的右侧的严格单调区间（原点是区间的作端点）定义反三角函数的主值. 例如，余弦函数
在
与余切函数
在
都是严格减少的.
的反
根据定理1，它们都存在严格减少的反函数. 余弦函数函数就是反余弦函数反余切函数
. 余切函数
的反函数就是
. 除此之外，三角函数在其他的严格单调区
间上的反三角函数都能用它的主值表示出来. 例如：
正弦函数
在严格单调区间
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的反正弦函数是
余弦函数
）
.
在严格单调区间
的反余弦函数是 （
）.
的图像与其反函数
（或
在平面直角坐标系中，函数
的图像时相同的. 这里反函数的自变量是y. 当孤立地讨
论某函数的反函数性质时，人们习惯用x表示函数的自变量. 这样对讨论函数的性质，描绘函数的图像都比较方便. 这是因为讨论反函数的性质，与这个反函数的自变量用什么字母表示无关. 当将函数
的反函数
即
，那么函数
中的自变量y与因变量x调换位置时，
的图像与其反函数
在函数
的图的图像上，
像就不同了. 显然，若任意点那么点为已知点
的图像与其反函数
必在其反函数的图像上，反之亦然. 因关于直线
对称，所以函数
对称.
38
的图像关于直线
如图1.22.
y y?f?1?x? y?f?x?
x?f?1 O 图1.22 x ?y?
的反函数是对数函数
. 当. 从而指的图像关于
已知指数函数
孤立地讨论对数函数的性质时，将对数函数写为数函数直线
的图像与其反函数——对数函数对称.
当函数
. 若函数
与其反函数一起讨论时，其反函数应表为
存在反函数，将看作x的方程，若只有
唯一一个解，这个解就是所求的反函数.
例3 求函数y＝2x+|2－x|,x?R的反函数. 解
, 视x为未知数，解方程
为了去掉绝对
值，将方程改写为
39
从而有 从而，反函数是
例4 试问下列等式成立吗？请描绘它的图形. 1）2）
解 1）反正切函数数
；
的定义域是R，而
与
在
是反正切函上是互为
的主值，又恰是正切函数
反函数，所以在R上给出的等式成立（如图1.23），即
y y?x .
O x
图1.23
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