例如, y = 1,却有无限多个 x?2k?都对应着 1,即 Sin(2k????2?R, k?Z 按照对应关系s in
?2)=1,k?Z.
5) 上述这个函数定义，有很大的概括性，它基本上反映了事物的本质，但是从现代数学观点来看,还不能说这是严格的函数定义.因为它使用了与函数概念等价的 “对应关系” 或 “对应” .那么何谓数学中的“对应关系”或“对应”尚无定义.因此这个函数概念有缺陷,是不严格的.我们将在第十章用纯集合论的语言比较精确地给出函数定义.
二.函数的四则运算
函数 f定义包含两个要素:对应关系与定义域.因此,定义两个函数相等和四则运算需要同时考虑这两个要素.
定义 设两个函数 f与 g分别定义在数集 A与B.
1）若 A = B,且 ?x∈ A,有 f( x) = g( x),则称函数 f与g相等,记为 f = g.
2）若A∩B≠? ,则函数f与g的和f + g、差 f - g、积 fg分别定义为
?f ?f?g?(x)?f(x)?g(x), x?A?B. .
?g?(x)?f(x)?g(x), x?A?Bf(x)g(x), x?A?B ?fg?(x)?.
fg 3) 若( A∩ B) \\{ x| g( x) = 0}≠ ?,则函数 f与 g 的商定 义为
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???f?f(x)?(x)?,x?( A∩ B) \\{ x| g( x) = 0}. ?g(x)?g?例如,函数 f ( x ) = x, x∈ R ; g ( x ) = x (sin2x+cos2x),x∈R.有相同的定义域 R .尽管这两个函数的解析式不同,但有相同的对应规律，即?x∈R,有
x = x(sin2+cos2x)
于是,函数 f( x) = x 与 g( x) =x(sin2+cos2x)在 R 上相等.
例如,函数 f( x) = x+1, x∈R ; g( x) =x管这两个函数在 R\\{1}上相等,即
x+1= x22?1x?1, x∈R\\{1}, 尽
?1x?1,
但是这两个函数在 R 上不相等.
例如, 函数 f (x)=In(x-1),x?(??,1);g(x)?1?x,x∈( - 1,1].
2 ( -?, 1) ? [ -1, 1] = [ -1, 1).
( -?, 1) ? [ -1, 1] \\{x|g(x) =0}=[ -1, 1)\\{ -1, 1} =( -1, 1). 于是,函数 f与g的和、差、积、商分别是 ( f + g)(x)=In(1 -x) + ( f - g)( x)=In(1 -x) - (fg)( x )= ??1?21?x, x∈( - 1,1).
21?x, x∈( - 1,1).
2xIn(1 -x), x∈( - 1,1).
?f?In(1?x)???2g??1?x, x∈( - 1,1).
例如,函数 y = x 自变量x自乘 n 次（n为正整数）,就是幂函
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数 f( x)=xn,它的定义域是 R .有限多个幂函数分别乘以常数,按降幂排列的和就是多项式函数.
Pn(x) =a0xn+a1xn-1+?+an-1x+an,x?R,
其中 n∈N + , a0 , a1 ,?, an 都是常数,且 a0≠0.
三.函数的图像
函数的图像能将函数的几何性态表现得十分明显. 即使对那些用解析式表示的函数, 为了对它有个直观形象的了解, 也常常将它的图像描绘出来.
设函数 y = f( x)定义在数集 A .坐标平面上的点集 G ( f ) = {( x, y)| x∈ A, y = f( x)},
称为一元函数 y = f( x) 在数集 A 上的图像, 简称函数 y = f( x)的图像 .显然, 坐标平面上一个点集 G 是某个函数的图像的充分必要条件是,平行 y轴的每条直线与点集 G 至多有一个交点.
有些特殊的函数并不是用解析式给出的, 其对应关系是用“一句话”给出的,用特定的符号予以表示,然后再描绘出它的图像,函数的几何性态可一目了然.例如：
1)“?x∈R, 对应的 y是不超过 x的最大整数.” 显然, ?x∈R都对应唯一一个 y.这是一个函数,如图1 . 3,记为 y = [ x],即 [2 . 5] = 2, [3] = 3, [0] = 0, [ -π] = - 4.
2)“ ?x∈R,对应的 y = x - [ x].” 这是 x 的非负小数函数,如图 1 . 4,记为 y = { x},即
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{2.5}=2.5-[2.5] =2.5 -2 =0.5. {5}=5- [5] =5-5=0
{-3.14} = -3.14 -[-3.14] = -3.14 - (-4) =0.86
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3)“?x > 0, 对应 y = 1; x = 0, 对应 y = 0; ?x < 0, 对应 y =- 1.” 显然, ?x∈R ,都对应唯一一个y. 这是一个函数, 如图 1 . 5,记
为
?1,x ? 0 y = sgn x ,即y? sgn x ? ??0, x ? 0 ? -1, x ? 0?
. 因为 ?x∈R,总有 | x| = xsgn x,
所以sgn x 起了 x 的符号的作用.因 此,这个函数称为符号函数①.
4)“当 x 是有理数时,对应 y = 1;当 x 是无理数时,对应 y =0.” 显然, ? x∈R 都对应唯一一个 y.这是一个函数,记为 y =D ( x),即 y=D
-1, x是有理数.
0， x 是无理数
这个函数称为狄利克雷函数,②如图 1 . 6.因为数轴上有理点与无
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