① sgn 是拉丁文 signum (符号)的缩写.
② 狄利克雷( Dirichlet,1805—1859),德国数学家.
理点都是稠密的,所以它的图像不能在数轴上准确地描绘出来.图 1 . 6 是示意图.
5) 黎曼函数③
1n,x?mn,m?Z，n?N+ ,且n与m互质，
R（x）= 1, x =0
0,x是无理数
与上例同样的原因，它的图像不能在平面上准确地描绘出来.
四. 数列
数列是一类特殊的函数,并且是一类很有用的函数. 定义 定义在正整数集 N + 上的函数 f( x)称为数列. ?n∈N + ,设 f( n) = an. 因为正整数能够按照大小顺序排列起来,所以数列的值域{ an | n∈N + }中的数也能够相应地按照正整数 n 的顺序排列起来,即
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a1 , a2 , a3 ,?, an ,? (1)
an 称为数列(1)的第 n 项或通项.将数列(1)简单地表为{ an }.自
③ 黎曼（Riemann,1826-1866）,德国数学家.
变数 n 与其函数值(因变量) an 之间的对应关系 f如下表:
自变数 1 2 3 4 5 6 ? 10 ? 100 ? 1 000 ? 函数值 a1 a2 a3 a4 a5 a6 ? a10 ? a100 ? a1 000 ? 数列之例:
1) ??1?1111?:1,,,,?,,?;
234n?n?2) ??n?1234n:,,,,?,,?; ?n?12345n?1??3)
?(?1)??n??nn?(?1)111?:?1,,?,,?,,?; ?234n???1?(?1)?4) ?2??n?1?1?(?1)??:1,0,1,0,?,2??n?1,?;
5) ?n!?:1!,2!,3!,4!,?,n!,?; 6) 数列是
1, 1 . 4, 1 . 41, 1 . 414, 1 . 414 2, 1 . 414 21, ?.
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2的不足近似值,精确到 1,0 . 1 ,0 . 01 ,0 . 001 ,? 的
7) 若 ?k∈N + ,有 ak + 1 - ak = d (常数) , a1 = a , 则称数列{ an }是等差数列, d 为公差.于是,公差为 d 的等差数列是 a, a + d, a + 2 d,?, a + ( n - 1) d,?. 8) 若 ?k∈N ,有 ak + 1 = qak, q 是常数, a1 = a,则称数列{ an } + 是等比数列, q 为公比.于是,公比为 q 的等比数列是 a,aq,aq2,?,aqn-1,?.
§1.2 四类具有特殊性质的函数
“函数f(x)定义在数集A”与“函数f(x)在数集A有定义”，这两句话的含义稍有不同，通常人们认为，前者是指数集A是函数f(x)的定义域；后者是指数集A是函数f(x)的定义域或是定义域的子集，后者可能是前者. 一、有界函数
定义 设函数f(x)在数集A有定义，若函数值的集合 f(A)={f(x)|x?A}
有上界（有下界,有界），则称函数f(x)在A有上界（有下界，有界），否则称函数f(x)在A无上界（无下界，无界）。
由已知的数集有上界，有下界，有界的定义，不难写出函数f(x)在A 上有上界，有下界和有界的肯定叙述，同时也容易写出他们的否定（既无上界，无下界和无界）叙述，先将它们列表对比如下： 函数f(x)在A有上界 函数f(x)在A无上界
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函数f(x)在A有下界 函数f(x)在A无下界 函数f(x)在A有界 函数f(x)在A无界 显然，函数f(x)在数集A有上界（有下界）必有无限多个上界（无限多个下界）.
函数f(x)在区间有界的几何意义是，函数f(x)在区间[a,b]上的图像位于以二直线y=M与y=-M为上下边界的带形区域之内，如图1.7.
-M x
y M 例1 正弦函数y=sinx与余弦函数y=cosx在R有界，如图1.8与图1.9 事实上,?M sinx?1?1?0,?x?R,有
x?1 与 cosy
O x 14
-
图1.8
y -
图1.9
例2 反正切函数与反余切函数在R有界，如图1.10与图1.11 事实上
有|arctan x|<
有|arccot x|<
例3 证明：1) 函数f(x)=在R无界(x 2) 函数f(x)=在R有界. )；
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