（8）随机试验E有三种两两不相容的结果A1,A2,A3，且三种结果发生的概率均为
1，将试验E独立重复做2次，3X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验中结果A2发生的次数，则X与Y的相关系数为（ ）
（A）?
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
11 （B）? 23（C）
1 2（D）
1 3tln?1?tsint?dt??__________（9）lim0x?0x1?cosx2
（10）向量场A?x,y,z???x?y?z?i?xyj?zk的旋度rotA?_________
22（11）设函数f?u,v?可微，z?z?x,y?由方程?x?1?z?y?xf?x?z,y?确定，则dz?0,1??_________
（12）设函数f?x??arctanx?x，且f???(0)?1，则a?________
1?ax2??100??1（13）行列式
00?43200?____________. ?1??12（14）设x1,x2,...,xn为来自总体N?,?的简单随机样本，样本均值x?9.5，参数?的置信度为0.95的双侧置
??信区间的置信上限为10.8，则?的置信度为0.95的双侧置信区间为______.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ．．．（15）（本题满分10分）已知平面区域D???r,??2?r?2?1?cos??,????2??????，计算二重积分??xdxdy.
2?D
（16）（本题满分10分）设函数y(x)满足方程y???2y???ky?0其中0?k?1.
???证明：反常积分?
??0y(x)dx收敛；
????若y(0)?1,y?(0)?1，求
???0y(x)dx的值.
6
（17）（本题满分10分）设函数f(x,y)满足
?f(x,y)?(2x?1)e2x?y,且f(0,y)?y?1,Lt是从点(0,0)到点(1,t)?x的光滑曲线，计算曲线积分I(t)?
?f(x,y)?f(x,y)dx?dy，并求I(t)的最小值 ?Lt?x?y（18）设有界区域?由平面2x?y?2z?2与三个坐标平面围成，?为?整个表面的外侧，计算曲面积分
I???x2?1dydz?2ydzdx?3zdxdy???
0?f'(x)?（19）（本题满分10分）已知函数f(x)可导，且f(0)?1，
证明： （I）级数
1，设数列?xn?满足xn?1?f(xn)(n?1,2...)，2?(xn?1?n?1?xn)绝对收敛；
（II）limxn存在，且0?limxn?2.
n??n??
?1?1?1??2???a1?,B??1（20）（本题满分11分）设矩阵A??2??11a???a?1???当a为何值时，方程AX?B无解、有唯一解、有无穷多解？
2??a? ?2???0?11???（21）（本题满分11分）已知矩阵A??2?30?
?000???（I）求A
997
（II）设3阶矩阵B?(?,?2,?3)满足B?BA，记B100?(?1,?2,?3)将?1,?2,?3分别表示为?1,?2,?3的线性组合。
（22）（本题满分11分）设二维随机变量(X,Y)在区域D?2??x,y?0?x?1,x2?y?x上服从均匀分布，令
??1,X?Y U??0,X?Y?（I）写出(X,Y)的概率密度；
（II）问U与X是否相互独立？并说明理由；
（III）求Z?U?X的分布函数F(z).
?3x2,0?x???（23）设总体X的概率密度为f?x,?????3，其中???0，???为未知参数，X1,X2,X3为来自总体X?0,其他?的简单随机样本，令T?max?X1,X2,X3?。 （1）求T的概率密度
（2）确定a，使得aT为?的无偏估计
8
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题
（-?,+?）（1）设函数f(x)在连续，其2阶导函数f??(x)的图形如下图所示，则曲线y?f(x)的拐点个数为（ ）
（A）0
（B）1
(C) 2
(D) 3
11??（2）设y?e2x??x??ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y??ay??by?cex的一个特解，（ ） 23??则：(A)a??3,b??1,c??1.(B)a?3,b?2,c??1.(C)a??3,b?2,c?1.(D)a?3,b?2,c?1.?
(3)若级数?an条件收敛，则x?3与x?3依次为幂级数?nan?x?1?的：n?1n?1?n(A)收敛点，收敛点.(B)收敛点，发散点.(C)发散点，收敛点.(D)发散点，发散点.（4）设D是第一象限中曲线2xy?1,4xy?1与直线y?x,y?3x围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则
（ ）
??f(x,y)dxdy?（ ）
D?（A）
??d??341sin2?12sin2??f(rcos?,rsin?)rdr（B）??3d??41sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)rdr
?(C)
??d??341sin2?12sin2??f(rcos?,rsin?)dr( D) ??3d??41sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)dr
9
?111??1?????（5）设矩阵A?12a，b?d，若集合??{1,2}，则线性方程组Ax?b有无穷多个解的充分必要条件
?????14a2??d2?????为（ ）
（A）a??,d?? （C）a??,d??
（B）a??,d?? （D）a??,d??
222（6）设二次型f(x在正交变换x?Py下的标准形为2y1?y2?y3，其中P?(e，若1,x2,x3)1,e2,e3)Q?(e1,?e3,e2，则
)f(x1,x2,x3)在正交变换x?Qy下的标准形为（ ） （A）2y222221?y2?y3 （B）2y1?y2?y23 22（D）2y222
（C）2y1?y22?y3
1?y2?y3
（7）若A,B为任意两个随机事件，则（ ） （A）P(AB)?P(A)P(B) （B）P(AB)?P(A)P(B)
（C）P(AB)?P(A)?P(B)P(A)?P(B)2（D）P(AB)?
2
(8)设随机变量X,Y不相关，且EX?2,EY?1,DX?3,则E??X?X?Y?2????（ ）
(A)?3 (B)3 (C)?5
(D)5
二、填空题 （9）limlncosxx?0x2?_________.
?（10）
?2?sinx????cosx?|x|???dx?_________. 2?1（11）若函数由方程ex?xyz+x?cosx?2确定，则dz(0,1)?.
（12）设是由平面x?y?z?1与三个坐标平面所围成的空间区域，则
???(x?2y?3z)dxdydz???
2002-12020022（13）n阶行列式00-12?
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