（14）设二维随机变量三、解答题 （15）设函数
服从正态分布，则
，g(x)?kx3，若f(x)与g(x)在x?0是等价无穷小，求a，b，
k值。
（16）直线
（17）已知函数f(x,y)?x?y?xy，曲线C:x?y?xy?3，求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数.
（18）（本题满分10分）
（Ⅰ）设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明
（Ⅱ）设函数u1(x),u2(x)...un(x)可导，
（19）（本题满分10分）
22设函数
f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0?I，曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与
x?x0及x轴所围成的区域的面积为4，且
f(0)?2,求f(x)的表达式。
f(x)?u1(x)u2(x)...un(x),写出f(x)的求导公式.
??z?2?x2?y2,已知曲线L的方程为?起点为A(0,2,0)，终点为B(0,?2,0)，计算曲线积分
??z?x,I??(y?z)dx?(z2?x2?y)dy?(x2?y2)dzL
11
（20）（本题满分11分） 设向量组?1,?2,?3是3维向量空间3的一个基，?1?2?1?2k?3，?2?2?2，?3??1?(k?1)?3。
（Ⅰ）证明向量组?1,?2,?33是
的一个基；
（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量?在基?1,?2,?3与基?1,?2,?3下的坐标相同，并求出所有的?。
（21）（本题满分11分）
?02-3??1-2设矩阵A???-13?3??0???相似于矩阵B?0b0?. ?1-2a??????031??（Ⅰ）求a,b的值.
（Ⅱ）求可逆矩阵P，使得P?1AP为对角阵.
（22）（本题满分11分） 设随机变量X的概率密度为
x)=??2-xf(ln2x?0?0x?0 对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数. （Ⅰ）求Y的概率分布； （Ⅱ）求EY.
（23）（本题满分11分） 设总体X的概率密度为
?1f(x;?)=??1????x?1
??0其他其中?为未知参数，X1，X2.....Xn为来自该总体的简单随机样本. （Ⅰ）求?的矩估计. （Ⅱ）求?的最大似然估计.
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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．
１．下列曲线有渐近线的是（ ） （A）y?x?sinx
（B）y?x2?sinx
1 （C）y?x?sin
x1（D）y?x2?sin
x2．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在[0,1]上（ ） （A）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （C）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) 3．设f(x)是连续函数，则 （A） （B） （C） （D）
（B）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （D）当f??(x)?0时，f(x)?g(x)
?10dy?0?11?y?1?y2f(x,y)dy?（ ）
?dx?01x?10f(x,y)dy??dx?0?11?x20f(x,y)dy
?dx?0?11?x10f(x,y)dy??dx?0?1?x2??2f(x,y)dy
1cos??sin?0?20d??d?????1cos??sin?0f(rcos?,rsin?)dr??d??f(rcos?,rsin?)rdr??d??2f(rcos?,rsin?)dr
f(rcos?,rsin?)rdr
??201cos??sin?0??1cos??sin?04．若函数?(x?a1cosx?b1sinx)2dx?min?(x?acosx?bsinx)2dx，则a1cosx?b1sinx?（ ）
a,b?R????? （A）2sinx （B）2cosx （C）2?sinx （D）2?cosx
0ab5．行列式a000cdc00b等于（ ） 00d（A）(ad?bc)2 （B）?(ad?bc)2 （C）a2d2?b2c2 （D）?a2d2?b2c2
6．设?1,?2,?3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关是向量?1,?2,?3线性无关的 （A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D）非充分非必要条件
7．设事件A与B想到独立，P(B)?0.5,P(A?B)?0.3则P(B?A)?（ ） （A）0.1
（B）0.2
（C）0.3
（D）0.4
8．设连续型随机变量X1,X2相互独立，且方差均存在，X1,X2的概率密度分别为f1(x),f2(x)，随机变量Y1的概率密度为fY(y)?1(f1(y)?f2(y))，随机变量Y2?1(X1?X2)，则（ ）
122 （A）EY1?EY2,DY1?DY2 （B）EY1?EY2,DY1?DY2 （C）EY1?EY2,DY1?DY2 （D）EY1?EY2,DY1?DY2
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
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9．曲面z?x2(1?siny)?y2(1?sinx)在点(1,0,1)处的切平面方程为 ．
10．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f'(x)?2(x?1),x??0,2?，则f(7)? ． 11．微分方程xy'?y(lnx?lny)?0满足y(1)?e3的解为 ．
12．设L是柱面x2?y2?1和平面y?z?0的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分
?Lzdx?ydz? ．
213．设二次型f(x1,x2,x3)?x12?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是 ．
?2x,??x?2?，214．设总体X的概率密度为f(x,?)??其中?是未知参数，X1,X2,?,Xn是来自总体的简单样本，3????0,其它若C?Xi2是?的无偏估计，则常数C= ．
i?1n2三、解答题
15．（本题满分10分） 求极限lim?1x???x1t(t(e?1)?t)dtx2ln(1?1)x2．
16．（本题满分10分）
322设函数y?f(x)由方程y?xy?xy?6?0确定，求f(x)的极值．
17．（本题满分10分）
22设函数f(u)具有二阶连续导数，z?f(excosy)满足?z??z?(4z?excosy)e2x．若f(0)?0,f'(0)?0，求f(u)?x2?y2的表达式．
14
18．（本题满分10分）
设?为曲面z?x2?y2(z?1)的上侧，计算曲面积分：??(x?1)3dydz?(y?1)3dzdx?(z?1)dxdy
?
19．（本题满分10分） 设数列?an??,bn?满足0?an?（1）证明liman?0；
n???2,0?bn??2，cosan?an?cosbn且级数?bn收敛．
n?1?
（2）证明级数
an收敛． ?bn?1n?
20．（本题满分11分）
?1?23?4???设A??01?11?，E为三阶单位矩阵．
?1203???（1）求方程组AX?0的一个基础解系；
（2）求满足AB?E的所有矩阵B．
21．（本题满分11分）
?1?证明n阶矩阵?1????1?1?1??0?01????1?1?与?0?02?相似．
????????????0?0n?1?1????
22．（本题满分11分）
设随机变量X的分布为P(X?1)?P(X?2)?1，在给定X?i的条件下，随机变量Y服从均匀分布U(0,i),i?1,2． 215