2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
x2?x（1）曲线y?2渐近线的条数为（ ）
x?1 （A）0
（B）1
x2x（C）2 （D）3
（2）设函数f(x)?(e?1)(e （A）(?1)n?1?2)(enx?n)，其中n为正整数，则f'(0)?
(n?1)! （B）(?1)n(n?1)! （C）(?1)n?1n! （D）(?1)nn!
（3）如果函数f(x,y)在?0,0?处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A）若极限limx?0y?0f(x,y)存在，则f(x,y)在(0,0)处可微
x?yf(x,y)存在，则f(x,y)在(0,0)处可微 22x?yf(x,y)存在
x?yf(x,y)存在
x2?y2 （B）若极限limx?0y?0 （C）若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限limx?0y?0 （D）若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限limx?0y?0（4）设Ik??eekx2
sinxdx(k=1,2,3),则有D
（A）I1< I2 ?0???（5）设?1?0,?2???c??1?1?0?????1?????????1?,?3??1,??4?1????c??c???c2????3??4 其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A）?1,?2,?3 （B）?1,?2,?4（C）?1,?3,?4 （D）?2,?3,?4 （6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且 ，P???1,?2,?3?，Q???1??2,?2,?3?则 Q?1AQ?（ ） (A). (B) . 21 (C) . (D) . （7）设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则p?x?y??（ ） (A) （8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（ ） 15 (B)12 (C)35 (D)45 (A)1(B) 二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．． （9）若函数f(x)满足方程f(x)?f(x)?2f(x)?0及f(x)?f(x)?2e，则f(x)=________。 （10） ''''x12(C)?12(D)?1 ?20x2x?x2dx ________。 ??z? ________。 ?y?(2,1,1)2（11）grad?xy?（12）设 ????x,y,z?x?y?z?1,x?0,y?0,z?0?,则??yds?________。 ?（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E?xxT的秩为________。 （14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，P(AB)?11,P(C)?,则23________。 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ．．．（15）（本题满分10分） 1?xx2?cosx?1?,?1?x?1 证明：xln1?x2 （16）（本题满分10分） x2?y2求函数f?x,y??xe?的极值。 2 22 （17）（本题满分10分） 求幂级数 ?n?0?4n2?4n?3x2n?12n 的收敛域及和函数 （18）（本题满分10分） 已知曲线 ，其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)?0， ，。若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离 恒为1，求函数f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。 （19）（本题满分10分） 已知L是第一象限中从点?0,0?沿圆周x?y?2x到点?2,0?，再沿圆周x?y?4到点?0,2?的曲线段，计算曲 2222线积分 （20）（本题满分10分） . 设．（Ⅰ）求A 有无穷多解，并求其通解． （Ⅱ） 当实数为何值时，方程组 ?101???ATTTT（21）（本题满分10分）三阶矩阵A??011?，为矩阵A的转置，已知r(AA)?2，且二次型f?xAAx。 ??10a???23 1）求a 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。 （22）（本题满分10分） 已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示， 求：(1)P?X?2Y?； (2)cov?X?Y,Y?与?XY. （23）（本题满分11分） 2设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N?,?2与N?,2?，其中?是未知参数且??0,设 ????Z?X?Y, 2（1）求z的概率密度fz,?； ?? （2）设z1,z2, （3）证明 zn为来自总体Z的简单随机样本，求?2的最大似然估计量?； 2为 的无偏估计量。 24 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． ．．．(1) 曲线y?(x?1)(x?2)2(x?3)3(x?4)4的拐点是( ) (A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． liman?0，(2) 设数列?an?单调减少，Sn?n???ak?1nk(n?1,2,则幂级数?an(x?1)n的收敛域为( ) ) 无界， n?1?(A) (?1,1]． (B) [?1,1)． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)?0，f?(0)?0，则函数z?f(x)lnf(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) f(0)?1，f??(0)?0． (B) f(0)?1，f??(0)?0． (C) f(0)?1，f??(0)?0． (D) f(0)?1，f??(0)?0． ??0?0(4) 设I??40lnsinxdx，J??4lncotxdx，K??4lncosxdx，则I,J,K的大小关系是( ) (A) I?J?K． (B) I?K?J． (C) J?I?K． (D) K?J?I． (5) 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记 ?100??100?????P10?，P2??001?，则A?( ) 1??1?001??010??????1?1(A) PP12． (B) P2P1． (D) P1P2． (C) P2P1． (6) 设A?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，A为A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)是方程组Ax?0的一个基础解系，则 *TA*x?0的基础解系可为( ) (A) ?1,?3． (B) ?1,?2． (C) ?1,?2,?3． (D) ?2,?3,?4． (7) 设F1(x)，F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)，f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( ) (A)f1(x)f2(x)． (B)2f2(x)F1(x)． (C)f1(x)F2(x)． (D)f1(x)F2(x)?f2(x)F1(x)． (8) 设随机变量X与Y相互独立，且E(X)与E(Y)存在，记U?max?X,Y?，V?min?X,Y?则E(UV)?( ) 25