(18)(本题满分11分)
(1)证明拉格朗日中值定理:若函数f?x?在?a,b?上连续,在(a,b)可导,则存在. f?b??f?a??a???f????b???a,b?,使得
f??x??A,则f???0?存在,且(2)证明:若函数f?x?在x?0处连续,在?0,?????0?内可导,且lim?x?0f???0??A
(19)(本题满分10分)
计算曲面积分I?
(20)(本题满分11分)
???xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y2?z322,其中
??是曲面2x2?2y2?z2?4的外侧.
??1??1?1?1?????1?,ξ1??1? 设A???11??2??0?4?2?????(1)求满足Aξ2?ξ1的ξ2.A2ξ3?ξ1的所有向量ξ2,ξ3. (2)对(1)中的任意向量ξ2,ξ3证明ξ1,ξ2,ξ3无关.
(21)(本题满分11分)
设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3.
22222(1)求二次型f的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f的规范形为y1,求a的值. ?y2
(22)(本题满分11分)
袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(1) 求pX?1Z?0. (2)求二维随机变量?X,Y?概率分布
(23)(本题满分11 分)
????2xe??x,x?0设总体X的概率密度为f(x)??,其中参数?(??0)未知,X1,X2,…Xn是来自总体X的简单
?0,其他随机样本.
(1)求参数?的矩估计量.
(2)求参数?的最大似然估计量.
36
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数f(x)? (A)0
?x20ln(2?t)dt则f?(x)的零点个数（ ）
(C)2
(D)3
(B)1
(2)函数f(x,y)?arctanx在点(0,1)处的梯度等于（ ） y(C)j
(D)?j
(A)i (B)-i
(3)在下列微分方程中,以y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是（ ） (A)y????y???4y??4y?0 (C)y????y???4y??4y?0
(B)y????y???4y??4y?0 (D)y????y???4y??4y?0
(4)设函数f(x)在(??,??)内单调有界,?xn?为数列,下列命题正确的是（ ） (A)若?xn?收敛,则?f(xn)?收敛 (C)若?f(xn)?收敛,则?xn?收敛
(B)若?xn?单调,则?f(xn)?收敛 (D)若?f(xn)?单调,则?xn?收敛
3(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若A?0,则（ ）
(A)E?A不可逆,E?A不可逆 (C)E?A可逆,E?A可逆 (B)E?A不可逆,E?A可逆 (D)E?A可逆,E?A不可逆
?x???(6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(x,y,z)A?y??1在正交变换下的标准方程的图形如图,则A的正特
?z???征值个数为（ ） (A)0
(B)1
(C)2
(D)3
(7)设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?x?,则Z?max?X,Y?分布函数为（ ） (A)F2?x?
(B) F?x?F?y? (C) 1?? ?1?F?x???
2(D) ??1?F?x?????1?F?y???
37
(8)设随机变量X~N?0,1?,Y~N?1,4?且相关系数?XY?1,则（ ） (A)P?Y??2X?1??1 (C)P?Y??2X?1??1
(B)P?Y?2X?1??1 (D)P?Y?2X?1??1
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程xy??y?0满足条件y?1??1的解是y??????????????????. (10)曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. (11)已知幂级数
?a?x?2?nn?0?n在x?0处收敛,在x??4处发散,则幂级数
?a?x?3?nn?0?n的收敛域为?????????????????.
(12)设曲面?是z?4?x2?y2的上侧,则??xydydz?xdzdx?x2dxdy??????????????????.
?(13)设A为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量,Aα1?0,Aα2?2α1?α2,则A的非零特征值为?????????????????.
2(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则PX?EX??????????????????.
?? 三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)
求极限lim??sinx?sin?sinx???sinx. x?0x4
(16)(本题满分10分) 计算曲线积分
?Lsin2xdx?2?x2?1?ydy,其中L是曲线y?sinx上从点?0,0?到点??,0?的一段.
(17)(本题满分10分)
?x2?y2?2z2?0已知曲线C:?,求曲线C距离
?x?y?3z?5
面最远的点和最近的点.
38
(18)(本题满分10分)
设f?x?是连续函数, (1)利用定义证明函数F?x??
(2)当f?x?是以2为周期的周期函数时,证明函数G?x??2?f?t?dt可导,且F??x??f?x?.
0x?xf(t)dt?x?f(t)dt也是以2为周期的周期函数.
200
(19)(本题满分10分)
?n?1将函数f?x??1?x2(0?x??),用余弦级数展开,并求???1?的和.
?1n2n
(20)(本题满分11分)
设为3维列向量，矩阵
，其中，分别是，的转置.证明：
(I) 秩；
(II) 若
线性相关，则秩
.
(21)(本题满分11分)
设元线性方程组，其中
，
，，
(I) 证明行列式
；
39
(II) 当为何值时，该方程组有唯一解，并求
；
(III) 当为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.
(22)(本题满分11分)
设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P?X?i??1?i??1,0,1?,Y的概率密度为3?10?y?1,记Z?X?Y, fY?y????0其它(1)求P?Z???1?X?0?. 2?
(2)求Z的概率密度fz(z).
(23)(本题满分11分)
设X1,X2,,Xn是总体为N(?,?2)的简单随机样本.
121n1n222T?X?S 记X??Xi,S?,(X?X)?inni?1n?1i?1 (1)证明T是?的无偏估计量.
(2)当??0,??1时 ,求DT.
40
2