(17)(本题满分10分)
(1)比较
（2）记un??10lnt[ln(1?t)]dt与?tnlntdt(n?1,2,)的大小,说明理由
0n1?10lnt[ln(1?t)]ndt(n?1,2,),求极限limun.x??
(18)(本题满分10分)
(?1)n?12n求幂级数?x的收敛域及和函数.
2n?1n?1?
(19)(本题满分10分)
设P为椭球面S:x?y?z?yz?1上的动点,若S在点P的切平面与xOy面垂直,求P点的轨迹C,并计算曲面积分I?222???(x?3)y?2z4?y?z?4yz22dS,其中?是椭球面S位于曲线C上方的部分.
(20)(本题满分11分)
11????a?????设A??0??10?,b??1?,已知线性方程组Ax?b存在两个不同的解.
?1?1?1??????(1)求?,a.
(2)求方程组Ax?b的通解.
31
(21)(本题满分11分)
22设二次型f(x1,x2,x3)?xTAx在正交变换x?Qy下的标准形为y1?y2,且Q的第三列为(22T,0,). 22(1)求A.
(2)证明A?E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.
(22)(本题满分11分)
设二维随机变量(X?Y)的概率密度为f(x,y)?Ae?2x密度fY|X(y|x).
2?2xy?y2,???x??,???y??,求常数及A条件概率
(23)(本题满分11 分)
设总体X的概率分布为 X P 1 2 3 1?? ???2 ?2 其中??(0,1)未知,以Ni来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i?1,2,3),试求常数
a1,a2,a3,使T??aiNi为?的无偏估计量,并求T的方差.
i?13
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2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)当x?0时,f?x??x?sinax与g?x??xln?1?bx?等价无穷小,则（ ）
2 (A)a?1,b??1 6(B)a?1,b?16
(C)a??1,b??16
(D)a??1,b?1 6
(2)如图,正方形
??x,y?x?1,y?1被其对角线划分为四个区域Dk?k?1,2,3,?4,Ik???ycosxdxdy,则
?Dkmax1?k?4?Ik??（ ）
(A)I1 (B)I2
(C)I3
(D)I4
f(x) O -2 0 -1 1 2 3 x
(3)设函数y?f??x在区间??1,?3上的图形为
F?x???x0?f?t的图形为（dt ）
f(x) f(x) 1 1 -0 1 2 3 x
-0 1 2 3 x
(A)
-
(B)
-
则函数
33
f(x) 1 -(C)
0 1 2 3 f(x) 1 x
n??-(D)
-0 1 2 3 x
(4)设有两个数列?an?,?bn?,若liman?0,则（ ） (A)当
?bn?1??n收敛时,
?abn?1?nn收敛. (B)当
?bn?1??n发散时,
?abn?1?nn发散.
(C)当
?bn?1n收敛时,
?abn?1?22nn收敛. (D)当
?bn?1n发散时,
?abn?1?22nn发散.
(5)设α1,α2,α3是3维向量空间R的一组基,则由基α1,311α2,α3到基α1?α2,α2?α3,α3?α1的过渡矩阵为（ ） 23?101?
?? (A)?220?
?033???
?12(C)????1?2?1???214141?41???6 ?1?6??1??6?
?120???
(B)?023?
?103???
?1?2(D)??1?4?1????6?1214161?2?? 1??4??1??6?
**(6)设A,B均为2阶矩阵,A,B分别为A,B的伴随矩阵,若A?2,B?3,则分块矩阵??OA??的伴随矩阵为 BO???O3B*? (A)?? *O??2A?O3A*? (C)?? *O??2B
?O(B)?*?3A?O(D)?*?3B2B*?? O?2A*?? O??x?1? ?,其中??x?为标准正态分布函数,则EX?（ ）
?2?(D)1
(7)设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7?? (A)0
(B)0.3
(C)0.7
(8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N?0,1?,Y的概率分布为P?Y?0??P?Y?1??1,记2FZ?z?为随机变量Z?XY的分布函数,则函数FZ?z?的间断点个数为（ ）
(A)0
(B)1 (C)2 (D)3
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二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
?2z(9)设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数,z?f?x,xy?,则? .
?x?yx(10)若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??C1?C2x?e,则非齐次方程y???ay??by?x满足条件y?0??2,y??0??0的解为y? . (11)已知曲线L:y?x(12)设??2?0?x?2?,则?xds? .
L??x,y,z?x2?y2?z2?1,则???z2dxdydz? .
??(13)若3维列向量α,β满足αTβ?2,其中αT为α的转置,则矩阵βαT的非零特征值为 . (14)设X1,X2,,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本,X和S2分别为样本均值和样本方差.若
X?kS2为np2的无偏估计量,则k? . 三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分9分)
求二元函数f(x,y)?x22?y2?ylny的极值.
(16)(本题满分9分)
设an为曲线y?x与y?x
(17)(本题满分11分)
n??n?1?n?1,2,.....?所围成区域的面积,记S1??an,S2??a2n?1,求S1与S2的值.
n?1n?1??x2y2x2y2??1绕x轴旋转而成,圆锥面S2是过点?4,0?且与椭圆??1相切的直线绕x轴椭球面S1是椭圆4343旋转而成.
(1)求S1及S2的方程. (2)求S1与S2之间的立体体积.
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