(A)E(U)?E(V)． (B)E(X)?E(Y)． (C)E(U)?E(Y)． (D)E(X)?E(V)．
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上． ．．．(9) 曲线y??x0tantdt(0?x??4)的弧长s? ．
(10) 微分方程y??y?e?xcosx满足条件y(0)?0的解为y? ． (11) 设函数F(x,y)??xy0sint?2Fdt，则21?t2?x? ．
x?0y?2(12) 设L是柱面方程x2?y2?1与平面z?x?y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分
y2?Lxzdx?xdy?2dz? ．
2(13) 若二次曲面的方程x?3y?z?2axy?2xz?2yz?4，经过正交变换化为y1 ?4z12?4，则a? ．222(14) 设二维随机变量?X,Y?服从正态分布N?,?;?,?;0，则EXY= ．
222????三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算．．．步骤．
(15)(本题满分10分)
ln(1?x)ex?1求极限lim()．
x?0x
(16)(本题满分9分)
设函数z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x?1处取得极值g(1)?1，求
1?2z?x?y．
x?1y?1
(17)(本题满分10分)
求方程karctanx?x?0不同实根的个数，其中k为参数．
26
(18)(本题满分10分)
(Ⅰ)证明：对任意的正整数n，都有
(Ⅱ)设an?1?111?ln(1?)? 成立． n?1nn1?2?1?lnn(n?1,2,)，证明数列?an?收敛． n
(19)(本题满分11分)
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)?0，f(x,1)?0， D??(x,y)|0?x?1,?0y??，1计算二重积分I???f(x,y)dxdy?a，其中
D??xyfD''xy(x,y)dxdy．
(20)(本题满分11分)
设向量组
?1?(1,0,1)T，?2?(0,1,1)T，?3?(1,3,5)T，不能由向量组?1?(1,1,1)T，?2?(1,2,3)T，
?3?(3,4,a)T线性表示．
(I) 求a的值；
(II) 将?1,?2,?3由?1,?2,?3线性表示．
27
(21)(本题满分11分)
?11???11?????设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，即r?A??2，且A?00???00?．
??11??11?????(I) 求A的特征值与特征向量；
(II) 求矩阵A．
(22)(本题满分11分)
设随机变量X与Y的概率分布分别为
X 0 1 P 1/3 2/3
Y ?1 0 1 P 1/31/31/3 且P?X2?Y2??1．
(I) 求二维随机变量(X,Y)的概率分布；
(II) 求Z?XY的概率分布；
(III) 求X与Y的相关系数?XY．
（23）（本题满分 11分）
设X1,X2,,Xn为来自正态总体N(?0,?2)的简单随机样本，其中?0已知，样本均值和样本方差．
?(I) 求参数?2的最大似然估计量?2；
?(II) 计算E(?2?)和D(?2)．
2?0未知．X和S2分别表示
28
?2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
??x2(1)极限lim??=（ ） x??(x?a)(x?b)?? (A)1
(B)e
(C)ea?b
(D)eb?a
x(2)设函数z?z(x,y)由方程F(,)?0确定,其中F为可微函数,且F2??0,则xyzxx?z?z?y=（ ） ?x?y (A)x
(B)z
(C)?x
(D)?z
(3)设m,n为正整数,则反常积分?1mln2(1?x)
0nxdx的收敛性（ ） (A)仅与m取值有
(B)仅与n取值有关
(C)与m,n取值都有关
(D)与m,n取值都无关
nn(4)limn(n?i)(n?j)= （ ）x????22 i?1j?1 (A)
?1x10dx?0(1?x)(1?y2)dy(B)
1
?0dx?x10(1?x)(1?y)dy
(C)
?111dx?110dx?0(1?x)(1?y)dy(D)
?100(1?x)(1?y2)dy
(5)设A为m?n型矩阵,B为n?m型矩阵，为阶单位矩阵，若AB?E,则（ (A)秩(A)?m,秩(B)?m (B)秩(A)?m,秩(B)?n
(C)秩(A)?n,秩(B)?m
(D)秩(A)?n,秩(B)?n
(6)设A为4阶对称矩阵,且A2?A?0,若A的秩为3,则A相似于（ ）
??1???1?
(A)?1???(B)?1?
?1? ??1??
?0????0????1????1??1? (C)
??1???
(D)???1???0????1??
?0??
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）(7)设随机变量X的分布函数 (A)0
(B)1
(C)
，则=（ ）
1?1?e 2(D)1?e?1
(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率密度,
若
为概率密度,则a,b应满足（ ）
(A)2a?3b?4 (B)3a?2b?4 (C)a?b?1 (D)a?b?2
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9)设(10)
求
?2_________.
?0xcosxdy= .
(11)已知曲线L的方程为y?1?x{x?[?1,起)点是(1,0则)曲线积分1]点}是,(?1,0终
?Lxyd?x2xdy= .
22(12)设??{(x,y,z)|x?y?z?1},则?的形心的竖坐标z= . (13)设α1?(1,2,?1,0)T,α2?(1,1,0,2)T,α3?(2,1,1,?)T,若由α1,α2,α3形成的向量空间的维数是2,则
?= . (14)设随机变量X概率分布为P{X?k}?C(k?0,1,2,),则k!= . 三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)
求微分方程y???3y??2y?2xe的通解.
(16)(本题满分10分)
求函数f(x)?
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x?x1(x2?t)e?tdt的单调区间与极值.
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