（1）求Y的分布函数；
（2）求期望E(Y).
23．（本题满分11分）
x???设总体X的分布函数为F(x,?)??1?e?,x?0，其中?为未知的大于零的参数，X1,X2,?,Xn是来自总体的简单?x?0?0,2随机样本，
（1）求E(X),E(X2)；
?（2）求?的极大似然估计量?．
^?（3）是否存在常数a，使得对任意的??0，都有limP??n?a????0？ ?n????
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2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题（1~8题，每题4分）
x?arctanx?c，其中k，c为常数，且c?0，则（ ）
x?0xk11 A. k?2,c?? B. k?2,c?
2211 . k?3,c?? D. k?3,c?
331.已知极限lim2.曲面x2?cos(xy)?yz?x?0在点(0,1,?1)处的切平面方程为（ ） A. x?y?z??2 C. x?2y?z??3
B. x?y?z?0 D. x?y?z?0
?1913.设f(x)?x?，bn?2?f(x)sinn?xdx(n?1,2,)，令S(x)??bnsinn?x，则S(?)?（ ）
0n?142 A .
3 4B.
11 C. ? 44D. ?3 44.设L1:x2?y2?1，L2:x2?y2?2，L3:x2?2y2?2，L4:2x2?y2?2为四条逆时针方向的平面曲线，记
??y3?x3?Ii???y???dx???2x?3??dy(i?1,2,3,4)，则max?I1,I2,I3,I4?? i?6???? A. I1 B. I2 C. I3
D I4
5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ） A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价
?1a1??200?????
6.矩阵?aba?与?0b0?相似的充分必要条件为（ ）
?1a1??000?????
A. a?0,b?2 C. a?2,b?0
7.设X1,X2,X3是随机变量，且X1则（ ）
A. P1?P2?P3 C. P3?P2?P2
B. a?0,b 为任意常数 D. a?2,b 为任意常数
N(0,1)，X2N(0,22)，X3N(5,32)，P,2,3)，i?P??2?Xi?2?(i?1B. P2?P1?P3 DP1?P3?P2
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8.设随机变量Xt(n),YF(1,n)，给定a(0?a?0.5)，常数c满足P?X?c??a，则P?Y?c2??( )
D 1?2a
A. a B. 1?a C. 2a
二、填空题（9-14小题，每小题4分） 9.设函数y=f(x)由方程y-x=e3x2xx(1-y) 确定，则limn[f()?1]＝ 。
n?02x1n10.已知y1=e –xe，y2=e –xe，y3= –xe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y= 。
x2x?x?sintd2y11.设?(t为参数)，则2? 。
y?tsint?costdx??t?412.
???1lnxdx? 。 2(1?x)13.设A=(aij)是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），则｜A｜＝ 。 14.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则P{Y≤a+1|Y＞a}=
三．解答题：
（15）（本题满分10分） 计算
?1f(x)x0dx，其中f(x)＝?x1ln(t?1)dt. t
(16)(本题10分)
设数列｛an｝满足条件：a0?3,a1＝，1an?2?n(n?1)an＝0(n?2).S（x）是幂级数
?ax的和函数.
nnn?0?（1）证明：S??(x)?S(x)?0;
（2）求S(x)的表达式.
（17）（本题满分10分）
18
x3x?y求函数f(x,y)?(y?)e的极值.
3
(18)(本题满分10分)
设奇函数f(x)在??1,1?上具有二阶导数，且f(1)=1，证明： （I）存在??（0,1），使得f?(?)?1.
??）（Ⅱ）存在??（?1,1），使得f??(?)?f（?1.
19.(本题满分10分)
设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点将L绕z轴旋转一周得到曲面?，?与平面z?0,z?2所围成的立体为?。 （1）求曲面?的方程；
（2）求?的形心坐标。
20.（本题满分11分） 设A???1a??01?,B????，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。
?10??1b?
21.（本题满分11分）
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?a1??b1?????设二次型f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)2?(b1x1?b2x2?b3x3)2，记???a2?，???b2?。
?a??b??3??3?（1）证明二次型f对应的矩阵为2??T???T；
22（2）若?,?正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y1。 ?y2
22.（本题满分11分）
设随机变量X的概率密度为
x?1,?2,?令随机变量Y??x,1?x?2,
?1,x?2?（1）求Y的分布函数；
（2）求概率P?X?Y?.
23.(本题满分11分)
??2???3ex,x?0,设总体X的概率密度为f(x;?)??x其中?为未知参数且大于零，X1,X2，,Xn为来自总体X的简单
?0,其他?随机样本。
（1）求?的矩估计量；
（2）求?的最大似然估计量。
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