＝A2－2A，求 ① B的特征值；
② B是否可对角化，若可以，试写出其相似对角形矩阵；
③ 求 |B|， |A－2E| .
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（3）在实数域上，设4阶实方阵A有两个不同的特征值，且满足条件AAT=2E，|A|＜0，求A*的两个特征值.
（4）设有3阶方阵A满足A3-5A2+6A=O，且TrA=5，|A|=0，试求A的特征值，并判定A能否相似于对角矩阵，若能，求出相似的对角矩阵.
?2?（5）设 A＝?0?0?0a20??1??2? 与 B＝?0?03???0200??0? 相似， b??① 求a，b；
② 求一个可逆矩阵C，使C－1AC＝B.
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（6） 设三阶矩阵A满足Aαi＝iαi (i＝1,2,3)，其中列向量α1＝(1,2,2)T，α2＝(2,－2,1)T，α3＝(－2,－1,2)T，试求矩阵A.
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?2?（7）设矩阵A=?8?0?2200??a相似于∧,求①a；②可逆矩阵P和对角矩阵∧，?6??使P-1AP=∧ .
4、证明题
（1）设实方阵A满足ATA=E，试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1
（2）设A是n阶正交矩阵，且|A|＝－1，证明 －1是A的一个特征值.
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学院 班级 姓名 学号
第 六 章 作 业
（二次型与对称矩阵）
1、 填空题
(1) 二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12+3x22－x32+2x1x2+2x1x3－3x2x3的矩阵是
，秩是 .
(2)二次型f(x1，x2，x3)＝ ?x1,x2,?1?x3?2??7?3485??x1??6x2???5???x3??的矩阵为 ??? .
(3) 设
??1?A=????2???2??, B=?????3???3?? ??1??则存在可逆矩阵P，使得PTTAP=B，其中P =
.
(4) 二次型f(x1，x2，x3)＝2x12+x22+x32－2tx1x2+2x1x3 正定时，t应满足的条件是 .
(5) 设A为实对称矩阵，且|A|≠0，则把二次型f＝xTAx化为 f＝yTA1y的线性变换是x＝ y .
－
2、 选择题
(1) 实二次型f＝xTAx为正定的充分必要条件是 . (A) R(A) = n； (B) A的负惯性指数为零； (C) |A| > 0 ； (D) A的特征值全大于零.
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(2) 设
?1?1A=??1??1?111??4??1110?, B=??0111????0111???000000000??0?, 0??0??则A与B的关系为（ ）.
(A) 合同且相似； (B) 合同但不相似；
(C) 相似但不合同； (D) 既不相似也不合同. （3）设矩阵
?3?A=2??0?24?20???2 ?5??正定，则相似的对角矩阵为（ ）.
?1?(A) ?????2??； (B) ????10??20??1??； (C) ????10??4??； (D) ?7???6????7??. ??1??(4) 设A、B为n阶正定矩阵，则 是正定矩阵.
(A) k1A＋k2B； (B) A*+B*； (C) A1－B1 ； (D) AB.
－
－
(5) 设A=（aij）n×n为实对称矩阵，二次型
nf=?(ai1x1?ai2x2???ainxn)i=12
为正定的充要条件是（ ）.
（A）|A|=0； （B）|A|≠