（2）设A是n阶正定矩阵，证明|A＋2E|>2n.
（3）设Am×n为实矩阵，若R（A）=n，试证ATA为正定矩阵.
（4）设A为m阶的正定矩阵，B为m×n实阵，试证BTAB正定的充分必要条件是R（B）=n.
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第 七 章 作 业
（线性空间）
1、下列集合对于给定的运算是否构成实数域R上的线性空间，如果是找
出一个基，并求维数.
（1）V0={x=(0,x2,…,xn)| x2,…,xn∈R},对于通常向量的加法和数乘； （2）V1={ x=(1,x2,…,xn)| x2,…,xn∈R},对于通常向量的加法和数乘； （3）全体n阶实矩阵集合Rn×n，定义
加法：?A、B∈Rn×n A?B＝AB－BA 数乘：按通常的矩阵数乘.
（4） S＝ ???0?－bb?? ?a? a，b∈R ，对于通常矩阵的加法和数乘；
（5）V={ x=(x1,x2,…,xn)| x1+x2+…+xn=0；x1, x2,…,xn∈R},对于通常向量的加法和数乘.
2、 全体实反对称矩阵的集合W,对于通常矩阵的加法和数乘是否构成Rn×n 的子空间？为什么？
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3、求线性空间R4中由向量组
?2???1??0??5?????????012?1?1???,?2???,?3???,?4???
?1??0??1??2??????????2??3??1??1?所生成的子空间的维数和一个基.
4、求数域F上三阶实对称矩阵在通常的矩阵的加法和数乘下构成的线性空间的基与维数.
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5、设线性空间Rn×n中一组基 E?01??10??11?1＝?2＝?11?， E??＝?11??11?， E3???01?， E4＝???10?,
?求A＝?01???2?3?在这组基下的坐标. ?
6. 已知1，x，x2，x3是R[x]4的一组基：
(1) 证明 1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3也是 R[x]4的一组基；
(2) 求由基1，x，x2，x3到基1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3的过渡矩阵；(3) 求由基1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3到基1，x，x2，x3的过渡矩阵；(4) 求a3x3＋a2x2＋a1x＋a0对于基1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3的坐标.
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7、设R3的两组基分别为
?1??0??0????????0??,???1?,???123??0? ?0????0????1??及
?1??1??1??'??'??'??1??0??,?2??1?,?3??1?. ?0????0????1??求R3中的向量α=（a1,a2,a3）T分别在这两组基下的坐标.
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8、 设有两组基
ξ1＝(0，1，1)T , ξ2 = (1，0，1)T，ξ3 = (1，1，0)T； η1＝(1，0，0)T , η2 = (1，1，0)T，η3 = (1，1，1)T. 求（1）由基ξ1，ξ2 ，ξ3到基η1，η2 ，η3的过渡矩阵C；
（2）α＝η1＋3η2 ＋5η3关于基ξ1，ξ2 ，ξ3的坐标；β＝ξ1＋2ξ2 ＋3ξ3关于基η1，η2 ，η3的坐标.
9、验证
?1??2??3?????