；
根据动量矩方程，有
以V1、V2代入上式，得
5相似原理及量纲分析
【4－1】液体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿程不变，管径为D，由于阻力作用，压强将沿流程下降，通过观察，已知两个相距为l 的断面间的压强差 Δ
p与断面平均流速V，流体密度ρ，动力粘性系数μ以及管壁表面的平均粗糙度δ等因素有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。试用π定理求Δp 的一般表达式。
【解】列出上述影响因素的函数关系式
函数式中N＝7 ；选取3个基本物理量，依次为几何学量D、运动学量V和动力学量ρ，三个基本物理量的量纲是
其指数行列式为
说明基本物理量的量纲是独立的。可写出N－3＝7－3＝4个无量纲π项：
，
，
根据量纲和谐原理，各π项中的指数分别确定如下（以π1为例）：
即
解得x1＝1，y1＝0，z1＝0，所以
，
，
，
以上各π项根据需要取其倒数，但不会改变它的无量纲性质，所以
求压差Δp 时，以
，
代入，可得
；
令：
，最后可得沿程水头损失公式为
上式就是沿程损失的一般表达式。
【4－2】通过汽轮机叶片的气流产生噪声，假设产生噪声的功率为P，它与旋转速度ω，叶轮直径D，空气密度ρ，声速c有关，试证明汽轮机噪声功率满足
【解】由题意可写出函数关系式
现选ω，D，ρ 为基本物理量，因此可以组成两个无量纲的π项：
，
基于MLT 量纲制可得量纲式
联立上三式求得x1＝3，y1＝1，z1＝5 所以
，
故有
一般常将c/ωD 写成倒数形式，即ωD/c ，其实质就是旋转气流的马赫数，因此上式可改写为
【4－3】水流围绕一桥墩流动时，将产生绕流阻力FD，该阻力和桥墩的宽度b（或柱墩直径D）、水流速度V、水的密度ρ、动力粘性系数μ及重力加速度g有关。试用π定理推导绕流阻力表示式。 【解】依据题意有
现选ρ、V、b为基本物理量，由π定理，有 ，，
对于π1项，由量纲和谐定理可得
求得x1＝1，y1＝2，z1＝2 ； 故
对于π2项，由量纲和谐原理可得
解得x2＝1，y2＝1，z2＝1 ；故
对于π3项，由量纲和谐定理可得
6 管流损失和水力计算
【5-1】动力粘性系数μ＝0.072kg/（m.s）的油在管径d＝0.1m的圆管中作层流运动，流量Q＝3×10－3m3/s，试计算管壁的切应力η
【解】管流的粘性切应力的计算式为
o
。
在管流中，当r增大时，速度u减小，速度梯度为负值，因此上式使用负号。 圆管层流的速度分布为