第2章极限与连续
一 典型例题解析
例1 用数列极限的定义证明lim证一 任给??0，要使
2n?2。
n??n?3662n66只要n?3?，即只要n??3，?2????，
??n?3n?3n?3于是，取N为大于
6??3的正整数，当n?N时，恒有
2n2n?2。 ?2??，即limn??n?3n?3证二 任给??0，要使
2n66?2????，为较方便地找到符合要求的正整n?3n?3n?3数N，可将
66666??了。于是，由??解得适当放大为，当??时，就更有
n?3nnn?3n62n2nil?2。的整数，当n?N时，就恒有即m ?2??，n???n?3n?3n?6?。所以，取N为大于
注 当用定义来证明某数列?un?以某常数A为极限时，关键是对于任意给定的正数?，来证明符合条件“n?N时恒有un?A??”的正整数N的存在性。因此，实际上是找出使
un?A??成立的充分条件n?N。这就能使得我们能够适当放大un?A,来寻找满足条
件的N。因此对于给定的正数?，满足条件“n?N时恒有un?A??”的N的数值并不唯一。
例 2 判断下列论断是否正确，并说明理由。
（1） 如果n越大，un?A越小，则有limun?A。
n??（2） 如果对于任意给定的正数?，存在自然数N使当n?N时，数列?un?中有无穷
多项满足不等式un?A??，，则该数列以A为极限。
解 （1）不正确。理由有二：
m一是当liun?A时，un?A未必是关于n的单调减函数，例如
n??1?(?1)n1?(?1)nun??0?n???，un?0?不随n的增大单调减少，即不是“n越
nn大，un?A越小”
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二是limun?A的定义里，要求的是“对于任意给定的正数?，存在自然数N使当n?N时
n??。定义中“任意”二字，体现了un可以与A“无限接近”的要求，或un?A??恒成立”
者说un?A可以“任意小”。“无限接近” 与“如果n越大，un?A越小”是有区别的，例如un?2n?111?2??2(n??)，n越大，un?1?1?越小，但un不以1为极nnn限，而是以2为极限。
（2）不正确。因为“如果对于任意给定的正数?，存在自然数N使当n?N时，数列?un?中有无穷多项满足不等式un?A??”不能保证“对于所有满足n?N的项un，不等式，“满足n?N时有无穷多项”与“满足n?N的所有的项”是有区别的。 un?A??成立”
例如数列un?1?(?1)n，对于任意给定的正数?，存在正整数N，当n?N时，有无穷多项满足un?0??，也有有无穷多项满足un?2??。实际上，数列un?1?(?1)n的奇数项组成的子数列以0为极限，偶数项组成的子数列以2为极限，所以，此数列发散，即，既
不以0为极限，也不以1为极限。
例 3 试证：数列以A为极限的充分必要条件是由数列?un?的奇数项和偶数项构成的数列都收敛于A。 证 必要性显然。
下证充分性。由数列?un?的奇数项组成的数列?u2k?1?和偶数项组成的数列?u2k?都以A为极限知：存在自然数K1,K2,使得当k?K1时，有u2k?1?A??,和当k?K2时有
u2k?A??。取N?max?K1,K2?,则当k?N时，u2k?1?A??与u2k?A??同时成
立，即只要下标n充分大，恒有un?A??成立。故此数列以A为极限。 例4 判断下列数列的敛散性
?2n,n为偶数??n?1（1）un??
2n?,n为奇数???n?1（2）un:0,1111,0,,0,,0,,?. 2468解 （1）偶数项组成的数列以2为极限，奇数项数列以—2为极限。所以此数列发散。 （2）此数列的奇数项和偶数项数列都以0为极限，所以数列以0为极限。
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1不存在。
x?0x1解5 取数列?xn?:xn?，?yn?:yn?n? 试说明极限limsin12n???2，
显然n??时，xn?0,yn?0，但f(xn)?0,f?yn??1。所以极限limsinx?01不存在。 x1??，再由三角函数的周期性可知，在此x11过程中，sin的数值不趋于某确定的常数，所以极限limsin不存在。
x?0xx也可从另一个角度来说明。当x?0时，
例6 判断以下论断是否正确
（1）若lim?f(x)?g(x)??A（常数）,则lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)
x?ax?ax?ax?a（2）若极限limf(x)存在，极限limg(x)不存在，则极限lim?f(x)?g(x)?不存在。
x?ax?ax?a（3）若lim?f(x)g(x)??A(常数)，则lim?f(x)g(x)??limf(x)?limg(x)?A
x?ax?ax?ax?a（4）若极限limf(x)存在，极限limg(x)不存在，则极限lim?f(x)g(x)?不存在。
x?ax?ax?a（5）若极限limf(x)存在，且极限lim?f(x)g(x)?存在，则极限limg(x)存在。
x?ax?ax?a（6）若极限limf(x)存在，且等于常数A,则极限lim?f(x)g(x)??Alimg(x)
x?ax?ax?a（7）若极限limf(x)存在，且等于非零常数A，极限lim?f(x)g(x)?存在,等于C，则极限
x?ax?alimg(x)存在，且limg(x)?x?ax?aC Ax?a(8) 若极限limf(x)存在，且等于非零常数A，则极限lim?f(x)g(x)?存在性与极限
x?alimg(x)存在性一致。
x?a解 (1)不正确。例如lim?(x?sin)???sinx?0??1x??11?1???(x?sin)及lim??sin?都???0，但limx?0x?0xx?x???发散。
（2）正确。事实上 ，若极限lim?f(x)?g(x)?存在，因为极限limf(x)存在，则由极限的
x?ax?a运算法则知
?f(x)?g(x)）（?f(x)?=lim?f(x)?g(x)?—limf(x)，即极限limg(x)存 limg(x)=limx?ax?ax?ax?ax?a在，这与条件“极限limg(x)不存在”矛盾。
x?a 17
11?0ni（无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量），但limsx?0x?0xx11不存在，因此不能写等式limxsin?limx?limsin。
x?0xx?0x?0x11（4） 不正确。例如limx?0，limsin不存在，但limxsin?0。
x?0x?0x?0xx（3）不正确。例如limxsin
（5）不正确，例如limx?0，limxsinx?0x?011?0，但limsin不存在。
x?0xxsinx1?1，虽然极限limsinx?0，但由于lim??故不
x?0x?0x?0x?0xx11能用“乘积的极限等于极限的乘积”法则，所以lim(sinx?)?limsinx?lim。
x?0x?0x?0xx11（6） 不正确，例如limx?0，但推演过程limxsin?limx?limsin?0是不对的。
x?0x?0xx?0x?0x1这是因为limsin不存在。
x?0x又如lim(sinx?)?lim（7） 正确。事实上，由极限limf(x)等于非零常数A，知，存在点a的某个空心邻域U1，
x?a1x在该空心邻域内，函数f(x)不等于0。又由极限lim?f(x)g(x)?存在,等于C,得：
x?a存在点a的某个空心邻域U2，使f(x)g(x)?C???x?,其中lim??x??0，所以在
x?a两个空心邻域的交集上，可得g(x)?C???x?，此等式两端同时取极限，得f(x)limg(x)?limx?aC???x?C?，即limg(x)存在。
x?ax?af(x)Ax?ax?a（8） 正确。事实上，由（7）可知，由极限limf(x)等于非零常数A且极限lim?f(x)g(x)?存在,等于常数C,得limg(x)?x?aC。反之，若极限limf(x)存在及limg(x)存在，
x?ax?aAx?a则由极限的四则运算法则可推得极限lim?f(x)g(x)?存在且等于
limg(x)limf(x)。
x?ax?a因此，在求几个函数的乘积的极限的过程中，若某个因子的极限是非零常数，则
可以先将该因子的极限写出。例如
1?cosxsinx()tanx?sinxcosx?lim[sinx?1?cosx?]?lim1 lim?limx?0x?0x?0x?0cosxx3x3x318
1x?x21?lim[23]?. x?02x
一般的，在运用极限四则运算法则时，要注意其条件是：涉及到的极限都存在，并且，变量的商的极限情形中，分母的极限不为零，否则不可随意运用。由上面的分析可以看到：极限limf(x)与极限limg(x)同时存在，是极限lim?f(x)?g(x)?及极限lim?f(x)g(x)?存
x?ax?ax?ax?a在的充分条件，但不是必要条件。
例7 (多项选择题)当x?a时，f(x)是（ ），则必有lim(x?a)f(x)?0
x?aA 任意函数 B 有极限的函数 C 无穷小量 D 无穷大量
解 x?a时，x?a是无穷小量，当f(x)是有极限的函数时，由极限四则运算法则知
lim(x?a)f(x)?0，所以 B正确；又由无穷小量的性质“无穷小量与无穷小量之积仍是
x?a无穷小量”知C也正确。A, D不正确，例如lim(x?a)x?a1?x?a?2?0.
x2?1x?1例 8 当x?1时，函数e的极限是（ ）
x?1A 2 B 0 C ? D 不存在但不为?
1x2?1x2?1x?1x?1?2,lime???,所以 lime??? 解 因为limx?1?x?1x?1?x?1?x?1112x2?1x?1x?1x?1?2,lime?0,lime?0 又因为lim所以
x?1?x?1x?1?x?1?x?111注 e?????,e???0
所以在x?1处，函数的左右极限不相等，故极限不存在，且也不为?，所以选择D 。
例9 以下论断是否正确
(1) 任意两个无穷小量都可比较阶的高低; (2 有界变量与无穷大量的乘积仍是无穷大量; 解 (1)不正确。例如，x?0时，x及xsin不存在，因此x?0时，x与xsin1都是无穷小量，但极限limx?0xxsin1x?limsin1x?0xx1不能比较阶的高低。一般地，只有两个无穷小量比值x1x2的极限存在或为无穷大，它们才可比较阶的高低。
22（2）不正确。例如x?0时，x是有界变量，是无穷大量，但是lim(x?)?0，即xx?01x 19