（3）指出当x?？时下列变量是无穷大量。
x?1x2?x?2（当x? 时）； （当x? 时）； x2?1x?3； eln(1?x)（当x? 时）
1x?1 （当x? 时）；
1x （当x? 时）； （当x? 时）。
??2arctanxsinx(4).试判断下列结论是否正确(填写“正确”或：“错误”) （A）无穷小量是零。 （B）零是无穷小量。
（C）任意两个无穷小量都可以比较阶的高低。 （D）有界量与无穷大量之积是无穷大量。 （E）任意两个无穷大量之和仍是无穷大量。 （F）无界变量一定是无穷大量。
（G）有限区间上的连续函数是有界函数。 （H）无限区间上的连续函数是无界函数。 （5）设常数a?1n?2na?1n]? 。，则limln[【2002年考研数学三】
n??2n(1?2a)?sinbxx,x?0??x?2a?（6）设函数f(x)??x为连续函数，且lim?则a? 。 ??b，
x???x?a??8,x?0?（7）lim2?3?4?5n???nnn1nn?? 。
t（8）已知x?0时，tanx?sinx与x是同阶无穷小，则t为 。
(9)设函数f(x)?lim1?x，则f(x)的不含极限号的表达式为 。
n??1?x2nx2?1（10）函数f(x)?ln(x?1)?的间断点的个数为 。
?x?1??x?2?3.求下列极限： （1）limn??3n?25n?n2 （2）limn??narctannn?12
（3）lim[n??n2?n2?1??n2?2n22?2?2????1?11 （4）lim1?????]?22n??2n?22n2?nn?n2??? ?x2?x?22x2?3x?1（5）lim （6）lim
x?2x??3x2?x?5x?2 45
（7）limeex2?xx2?1x???32?2x?1??x?2? （8）lim x???3x?2?4?x?1??ax2?2?（9）已知lim?，求常数 （10）limxx?1?x a,b?x?b?0?x???x???x?1??（11） limx???x2?1?x （12）lim??x?1?x?1
?x???（13） limxx?01?41?x （15）limx?2x?3x?9x?9 4.求下列极限：
（1）limsin2xx?0x （3）limx??xsin1x （5）limtanx?sinxx?0x3 （7）lim?1?2x1sinxx?0?
）limln?1?2x?3x2（9?x?0sinx 2(11)limx?0[1?ln(1?x)]x （13）lim1?cos(1?cosx)x?0x2(ex2?1)
5.下列极限存在的有（ ）
1（1）limxx?0e
（3） limex?1x??ex?1 （5）limcosx1x???sinx 46
x??? （14） lim3?x?1?xx?1x2?x?2 （16） lim?x?1?1?x?1?2?x2?1?? （2）limsin2xx??x
（4）limtanx?sinxx?0x
（6）limsin2xx?0tan3x
（8）lim1?x?1?sinxx?0x
（10）lim?cosx??12csc2x2x?0
(12)xxlim????3x?9?1x
（2）limxx?01
1?ex4）lim(x?2)sinxx??3x2?x?1
6）limx?0xsin??2x??x2?1?? 【2005年考研数学三】
（ （
（7） lim（9）limx?0111?x2 （8）limarctan
x??xx?1x?1?2x?1,x?111limf(x)sin （10），其中 f(x)??2x?1xx?x?2,x?1x2?bx?c?5，试确定b,c的值。 6.已知limx?11?xx2?ax?b)?1，求a,b的值。 7.已知lim(x??1?x?1x?2?1,x?0?8.设f(x)??1，问f(x)在x?0处是否连续？
x?2?1?x?0?1,1?x2n9.讨论函数f(x)?limx的连续性。
n??1?x2n?ln(1?2x)?1?x?1?x,0?x?1??10.确定a,b的值，使函数f(x)??a,连续。 ,x?0?x2?b,,?1?x?0???11.指出下列函数的间断点及间断点的类型。
1e3x?1（1）f(x)? （2）f(x)?xsin
xx?x?1??lnx,x?0（3）f(x)?2 （4）f(x)??2
x?3x?2?x,x?0lnx12.证明方程x?sinx?2至少有一个不超过3的实根。
13.设函数f(x)在区间[a,??)连续（其中a为常数），且limf(x)?A(常数）。证明：函
x???数f(x)在区间[a,??)有界。
ln(1?14.设limx?0f(x))sin2x?5，求limf(x)。
x?0x23x?1三 本章学习效果测试练习参考答案：
1
（1） 应选C. 由limf(x)?A（A为常数）并不能确定函数在点x0处是否由定义，所
x?x0 47
以也不能确定函数在该点处是否连续。由函数极限的的局部有界性定理，则f(x)在点x0的某个去心邻域内函数有界。 （2）D （3）B （4）D （5）D.因为limsinx?1
x?0xx2sinx21?cosx?1,而~,x?0 （6）B.因为lim2x?022x21ax2a]??1，得a?2 （7）由lim[2?x?0x2?x2（8）C
（9）C.
???1，x?0?1?例如f(x)??,0?x?1在?0,1?的端点处函数值异号，在?0,1?内及在?0,1?上函数无界且无
x????1,x?1零点。
1不存在。
x?0xtanxsinx C.中分子是两个无穷小量之差，极限lim3及lim3不存在，所以不能将分子的每
x?0xx?0x（10）B. 注意A中极限limsin一项用其等价无穷小代替。
1. 填空题
（1）（A）由un?3?0.01得
1?0.01，所以n至少大于100 n1（B）由un?3?0.001得?0.001，所以n至少大于1000
n(2（A）x?1,x?? （B）x?? （C）x?k?，k为整数（D）x?0
?(E)x?1 (F)x?k?,k为整数且k?0
1,k?0,k为整数 k?13?（H）x?1或x??? (I)x?
2（G）x?0或x?(3)（A）x??1 （B）x??或x?3 （C）x??1或x???
?48
（D）x?1 （E）x??? （F）x?k?,k?0,k为整数
（4） A）错。无穷小量是以零为极限的量，所以除了常数零以外，还有其它的无穷小量。
（B）正确。符合无穷小量的定义。
?1与x都是无穷小量，但它们不能比较阶的高低。 x（D）错误。例如x??时，x是无穷大量，sinx是有界量，但乘积xsinx不是无穷大量。
（C）错误。例如x?0时，xsin（E）错误。例如x??时，x是无穷大量，?x?2是无穷大量，但是x?(?x?2)?2不是无穷大量。
（F）错误。例如，x??时xsinx是无界变量，但不是无穷大量。 （G）错误。例如，f(x)?1在区间?0,1?内连续，但在该区间无界。 x（H）错误，例如，f(x)?arctanx在无限区间???,???连续，并且arctanx?n??1??n??1??1?2a???（5）原式=ln?lim? ???n????n?0??1?2a???????2。
?sinbx,x?0sinbx??f(0)，故有b?8 （6）因为函数f(x)??x为连续函数，所以 limx?0x?8,x?0?3a??x?2a??x?a?3a???lim??lim{[?1?又lim????x??x??x??x?a??x?a??x?a???e3a?8，所以，3a?3ln2，故a?ln2
（7）lim2?3?4?5n??xxx?a3a3a??]?1??}
x?a??3aa?nnn1nn?1?2??3??4?1?lim[?????????1]n?. n??55?5??5??5?nnn11?cosx1sinx()xx2tanx?sinxcosx?lim[2?1]?lim1x3?t?A?0所（8）lim?limx?0x?02x?0x?0cosxxtxtxt以t?3 ?0,x??1?1?x,?1?x?1?（9）f(x)??
1,x?1???0,x?1（10）1.点x?1为函数的间断点。（点x??2不在函数的定义域内）
3.计算极限
49