与
1的乘积却不是无穷大量。 x又如，数列1?(?1)n是有界变量，而?n?是无穷大量，但n1?(?1)n不是无穷大量。 例10 填空：当x?0时
?3（1）x?2x与x是同阶无穷小量，则?? ???????（2）
3x2?x与xk是同阶无穷小量，则k? 。
x?x~xk，则k? 。
（3）x?x3?2x23?limx?2?2x?2x与x是同阶无穷小量，所以解 (1) 因为lim，故有 ?x?0?x?0x????1。一般地，当x?0时，若某个无穷小量是关于x的方幂的代数和，则它与次数最低
的项是同阶无穷小量。 （2）因为lim?x?03x2?xx121213x2?xk?，所以。 ?lim?lim3x?1?1?x?0?x?02x11?1212??xk， x??x?x2??x2k， ?x?x2??x2k，
???????????12?1??（3）因为?x??x?x2??????124k12x?x?x， x?x4k，所以，k?1。 8例10 试说明无穷大量与无界变量的联系与区别。
解 以“x??时f(x)为无穷大量”的情况为例来说明。其定义是“设当x充分大时函数f(x)有定义，若对于任意给定的正数M，存在正数X，当x?X时，恒有 f(x)?M
则称当x??时，f(x)为无穷大量，记为limf(x)??”，也将limf(x)??读作“当
x??x??，而函数f(x)为无界变量是指：“设函数f(x)的定义x??时，f(x)的极限为无穷大”
域为D,I?D。若对于任意给定的正数M，存在x0?I，使f?x0??M，则称此函数在
I上为无界变量。”因此，无穷大量与无界变量的联系与区别是：无穷大量一定是无界变量；但是，对于任意给定的正数M，由于无界变量定义中不要求集合I中所有的点x处的函数
值都满足不等式f(x)?M，而只要求存在某个x0?I，使f?x0??M即可，因此，无界
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变量未必是无穷大量。例如，函数f(x)?xsinx，在区间???，???无界。事实上，对于任意给定的正数M,存在整数n,使得2n??使f(x0)?x0sinx0?2n???2的绝对值大于M，即存在x0?2n???2，
?2???无界。?M。所以函数f(x)?xsinx在区间???，但是，x??时，f(x)?xsinx并不是无穷大量。这是因为，对于任给的正数M，不存在X?0，使“当自变量x????,?X??(X,??)时，总有f(x)?xsinx?M”，事实上，对于任给的正数M，无论X是怎样充分大的正数，总存在x的某个取值x0=
k?????,?X??(X,??)（k为整数），使f(x0)?x0sinx0?0。
f(x)?A,例11 设函数f(x)在区间?a,b?（其中a,b为常数）内连续，且lim?x?ax?b?limf(x)?B,其中A,B为常数，则函数f(x)在区间?a,b?内有界。
x?af(x)?A知，对于任意给定的正数?，存在??0，当0?x?a??即证：由lim?a?x?a??时，f(x)?A??，（不妨取?的值使a???b）
故a?x?a??时f(x)?f(x)?A?A?f(x)?A?A???A.即函数f(x)在区间
?a,a???内有界；
f(x)?B知，对于任意给定的正数?1，存在?1?0，当0?b?x??1即由lim?x?b（不妨取?1的值使a???b??1） b??1?x?b时，f(x)?B??1，
故b??1?x?b时，f(x)?f(x)?B?B?f(x)?B?B??1?B即函数f(x)在区间?b??1,b?内有界；
而函数f(x)在区间?a,b?内连续，所以也在其子区间?a??,b??1?上连续。因闭区间上的连续函数是有界的，所以函数f(x)在区间?a??,b??1?上有界。 综上所述可得，函数f(x)在区间?a,b?内有界。
例12 函数f(x)?xsin(x?2)x(x?1)(x?2)2在区间（ ）内有界。
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A ??1,0? B ?0,1? C ?1,2? D ?2,3?【2004年考研数学3，4】
解： 因limf(x)?lim??x?1x?1xsin?x?2?x?x?1??x?2?xsin?x?2?x?x?1??x?2?xsin?x?2?x?x?1??x?2?xsin?x?2?x?x?1??x?2?2222?lim?x?1xsin?x?2?x?x?1??x?2?2????
x?1limf(x)?lim??x?1???
1x?2limf(x)?lim??x?2?lim?x?2?x?1??x?2?1???
x?2limf(x)?lim??x?2?lim?x?2?x?1??x?2????
所以f(x)在?0,1?及?1,2?，?2,3?上均无界。 又
x??1lim?f(x)?f(?1)??sin3 182x?0limf(x)?lim??x?0?xsin?x?2?x?x?1??x?2???sin2 4且f(x)在??1,0?内连续，故f(x)在??1,0?内有界，故选A。（参见例11）
例13 关于无穷小量及无穷大量的四则运算，有什么规律？
解 不难由极限的定义及无穷大量、无穷小量、有界量的概念得到以下几个结论 （1） 两个无穷小量的代数和、乘积仍为无穷小量（简记为0?0?0,0?0?0）。两个无
穷大量的积仍是无穷大量。（简记为?????）
（2） 无穷大量与有界量的和或差仍为无穷大量； 但是，无穷大量与有界量的乘积未必是
无穷大量。 例如 lim?x?sinx??? ，limxsinx??
x??x?? 注 由于limsinx不存在，也不为?，
x??所以lim?x?sinx??limx?limsinx，limxsinx?limxlimsinx
x??x??x??x??x??x??（3）无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量。
sinx11?limsinx?0，limxsin?0
x??x??xx?0xx1注 由于limsinx及 limsin?0不存在，
x??x?0xsinx111?limlimsinx，limxsin?limxlimsin 所以 limx??x??xx??x?0xxx?0x?0xlim22
（4）两个同号无穷大量的和、两个异号的无穷大量的差仍是无穷大量。
可简记为 ???????????? （??）????????，????????????，????????????
（5）两个异号无穷大量的和（、两个?（??）???）?、同号无穷大量的差［?????????］未定正负号的无穷大量的和或差（???）未必是无穷大量。无穷大量与无穷小量的乘积（??0）未必是无穷大（记号??0中的0不是常数0，而是代表不为常数的无穷小量），也未必是无穷小。同样，两个无穷小量的商、两个无穷大量的商都是未定式。举例如下： 两个异号无穷大量的和：
x???lim?x??2?1?x?lim?1x?1?x2x????0（分母为两个正无穷大的和，而无穷大的
倒数为无穷小量）；
x???limx2?1?(?x2)?1.
??两个未定正负号的无穷大量的和或差：
3??x2?x?1?1??3 lim????lim3x?1x?11?x31?x1?x???limx?1?x?2?(x?2)(x?1)lim?1； =22x?1x?x?1x?x?1?1?x??1??lim2x3?x?limx3?2?2???. x??x??x????无穷大量与无穷小量的乘积（??0）：
11?2?lim(?x2)?0； lim(2?x)??； lim??x??2 x?0xx?0xx?0x??又如 limtan2(x)tan(?x) （??0型）
x???44?lim42tanx1?tanx2tanx21??lim?? 2?1?tan2x1?tanx?421?tanx?x?x??4或用变量替换：令
?4?x?t，则x??4?t?0，从而
limtan(2x)tan(?x)
?4x?4? 23
?????limtan2??t?tant?limtan(?2t)tant t?0t?02?4??limcot2t?tant?limt?0t?0tantt1?lim? tan2tt?02t2两个无穷大量的商（
?）： ?2x3?x2?122x3?x?13x?2lim3?,lim??,lim2?0 . x??5x?2x?3x??x?x?35x??x?411?sinxx?sinx1?0又如 lim?limx??1
x??x?cos1xx??1?01?cosxx一般地，当an?0,bm?0时
?an?b,m?nmanxn?an?1xn?1???a1x?a0??lim??0,m?n m?1x??bxm?bx???bx?bmm?110??,m?n???其中m,n为正整数。
但是，若自变量变化趋势不是x??，则不能用上面的结论。例如 22x3?3x?12?3?11lim3??而不是。 x?15x?x?255?1?22两个无穷小量的商（简记为
00， 不是一个确定的数，而只是“无穷小量之比”这种类型00的极限的记号。即，它应理解为：limf(x),其中f(x)与g(x)不是常数0，且g(x)limf(x)?0,limg(x)?0,而g(x)在极限的自变量变化过程中不等于0）：这种情况下，不
符合运用“商的极限的四则运算法则”的条件（即：分子、分母极限存在，且分母极限不为
limx20x2零0）,因此极限lim不能等于x?0，后者无意义（分母等于0）。以下是几个型极
x?0x0limxx?0限的例子：
x2xsin2xlim?0,lim2??,lim?2,limx?0xx?0xx?0x?0x要注意“limxsinx1x不存在
00,其中g(x)满足limg(x)?0”与“”型极限的区别。前者是常数0
0g(x)24