若存在，记极限为A，则由极限存在的充分必要条件知，在x0的某去心邻域U内，函数
??x?f(x)可以表示成极限值A与一个无穷小量的和，即：
??x??A???x?,x?U,其中f(x)x?x0lim??x??0，所以?(x)??A???x??f(x).
从而lim?(x)?lim?A???x??f(x)?Af(x0)，这与假设“函数??x?在点x0处极限
x?x0x?x0不存在”矛盾。故此时
??x?在点x0处不连续。 f(x)（3）若??x?在x0处有定义，且在点x0处极限存在（记为A），但A??(x0)，则
x?x0lim??x?f?x????x0???x?A，所以，此时，函数在点x0处不连续。 ?f(x)f(x0)f(x0)例 36试说明“函数在点x0处有定义”“函数在点x0处有极限”“函数在点x0处连续”这三个概念之间的关系。
解 “函数在点x0处有定义”与“函数在一点x0处有极限”没有联系。函数在点x0处有极限时，在点x0处函数可以有定义，也可以没有定义，有定义时，极限值也未必等于函数值。若“函数在点x0处连续”，则“函数在点x0处有极限”且极限值就等于函数在点x0处的函数值。
例37 求函数f(x)?11?ex1?x的间断点，并指出其类型。
解 此函数定义域为三个开区间的并集：???,0???0,1???1,???。 函数在上面的三个开区间内连续；
x??0在点x?0处函数无定义，但极限lim?1?e1?x??1?e?0，所以
?x?0???limf(x)?limx?0x?011?ex1?x??，所以点x?0为函数的无穷间断点。
x???，故有li?me1?x?0，所以在点x?1处函数无定义，且lim?x?11?xx?1x40
x??11?x??limf(x)?lim?1 lim1?e?1?0?1，x?x?0x?1?x?1????1?e1?xxx??x1?x1?x?????，所以lime???，故lim1?e??1?(??)???， 又limx?1?1?xx?1?x?1????f(x)? 所以lim?x?111?ex1?x?0
因为在点x?1处左、右极限存在但不相等，所以点x?1是此函数的跳跃间断点。 注 对于指数函数，指数趋于正无穷与指数趋于负无穷，其极限是不同的。 例38 （选择题）下列极限中正确的有（ ）
e??? （3）lime?0 （1）lime?? （2）lim??x?0x?0x?01x1x1x1x1x（4）lime?0 （5）lime?1 （6）lime???
x??x??x???x（7）lime?0 （8）limex???xxx????? （9）limex??
x???3??3?x（10）lim3??? (11) lim????? (12) lim?????
x???x???5x???5????lnx??? （14）limlnx?? （15）limln（13）lim?x?0x???xxx???1??? x1ln?1?x???? ??? （17）limx?1?x?0x11??解 注意x?0时，???；x?0时???
xx1x??时，?0；
xln（16）lim?以及lime???,u???uu???limeu?0，limeu?e0?1，limax???,(a?1)
u?0x???u?0?limlnu??? , limlnu???可知
u???正确的有
（2）,（3）,（5）,（6）,（7）,(8), (10) ， (12) ,(13) ,（14） ,（15）,（16）（17）
例39 设函数f(x)在?0,2a?上连续，f(0)?f(2a)，试证方程f(x)?f(x?a)在?0,a?上至少有一个实数根?。
证 即证存在???0,a?，使f(?)?f(??a)。将要证明的等式变形为
41
f(?)?f(??a)?0，并将其中的?换成x，构造辅助函数F(x)?f(x)?f(x?a)，此
函数的零点就是方程F(x)?0的根，也就是方程f(x)?f(x?a)的根。
因为f(x)在?0,2a?上连续,u?x?a连续，所以复合函数f(u)?f(x?a)在?0,a?上连续，所以F(x)?f(x)?f(x?a)在?0,a?上连续。
并且F(0)?f(0)?f(a)，F(a)?f(a)?f(2a)。所以F(0)?F(a)?f(0)?f(2a)。又因为f(0)?f(2a)，所以F(0)?F(a)?0。
若F(0)??F(a)?0，则x?0及x?a都是方程f(x)?f(x?a)在?0,a?上的根。 若F(0)??F(a)?0，则F(x)在区间?0,a?端点处的函数值异号。由闭区间上连续函数的性质知，在区间?0，a?内F(x)至少有一个零点，即方程F(x)?0在区间?0，a?内F(x)至少有一个实数根。
综上所述，方程f(x)?f(x?a)在?0,a?上至少有一个实数根。
例40 证明：如果函数f(x)在?a,b?内连续，x1,x2为此区间内任意两点，则在?a,b?内必有一点?，使f(?)?1?f(x1)?f?x2??。 2证法一 当x1?x2时，结论显然成立。不失一般性，下设x1?x2。由于函数f(x)在?x1,x2?连续，故在该区间上f(x)必有最大值M和最小值m。所以
，
故
m?f(x1)?M,m?f(x2)?M，所以
2m?f(x1)?f(x2)?2M1m?[f(x1)?f(x2)]?M。由介值定理知，在?x1,x2?内至少存在一点?，使
21f(?)??f(x1)?f?x2??。因?x1,x2???a,b?，故在?a,b?内必有一点?，使
21f(?)??f(x1)?f?x2??。
2证法二 将要证明的等式变形为2f(?)??f(x1)?f?x2???0，并将其中的字母?换成x，引入辅助函数F(x)?2f(x)??f(x1)?f?x2??。
若x1?x2，则结论显然成立。故不妨设x1?x2。由条件可知，F(x)在区间?x1,x2?上连续。
F(x1)?2f(x1)??f(x1)?f?x2???f(x1)?f(x2)
42
F(x2)?2f(x2)??f(x1)?f?x2???f(x2)?f(x1)
故有F(x1)+F(x2)=0，
若F(x1)=F(x2)=0，则f(x1)?f(x2)此时点x1及点x2都可作为点?，使
f(?)?1?f(x1)?f?x2??。 2若F(x1)F(x2)?0，由连续函数的零点定理知，F(x)在区间?x1,x2?内（从而必在?a,b?内）至少有一个零点?使f(?)?二．本章学习效果测试练习 1 单项选择题
（1）设limf(x)?A（A为常数）则 （ ）
x?x01?f(x1)?f?x2??。 2A. f(x)在点x0处连续 B. f(x)在点x0处有定义 C. f(x)在点x0的某个去心邻域内有界 D. 点x0为f(x)的可去间断点 (2) “f(x)在x0处有定义”是当x?x0时f(x)有极限的（ ）
A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.无关条件 （3）“f(x)在x0处有定义”是f(x)在x0处连续的（ ）
A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.无关条件
（4 ）设点x0为f(x)的第一类间断点，则（ ） A. f(x)在点x0处极限存在,但在该点处无定义 B. limf(x)?A（A为常数）
x?x0 C.f(x)在点x0处左、右极限至少有一个不存在. Df(x)在点x0处左、右极限都存在但未必相等。 . （5）当x?0时，
1sinx是 （ ） xA. 无穷小量 B.无穷大量 C.无界变量 D.有界变量 （6）当x?0时，下列变量中，与1?cosx等价的无穷小量是（ ）
xsin(x2)x2 A.x B. C.? D.
2222 43
ax22(7) 设当x?0时,与x是等价无穷小量，其中a为常数，则必有（ ）
2?xA．a?1 B.a为任意常数 C.a为非零常数 D.a?2 （8）“函数f(x)在闭区间?a,b?上连续”是函数f(x)在闭区间?a,b?上有界的（ ） A.无关条件 B. 充分必要条件 C充分但非必要条件 D. 必要但非充分条件 （9）已知函数f(x)在?a,b?内连续，且f(a)与f(b)异号，则（ ） A.在?a,b?内至少有一个点?，使f????0 B.在?a,b?上f(x)有界 C. 无法判断f(x)在?a,b?内是否有零点 D. 在?a,b?内f(x)有界 （10）以下式子中，正确的是（ ） A. limxsinx?011?limx?limsin?0 xx?0x?0x321?232x?2x?12xx B. lim3 ?lim?x??5x?3x2?x?2x??31255??2?3xxxtanx?sinxx?x?lim?0 C.limx?0x?0x3x31sin1x?1 D. limxsin?limx?0xx?01x2?2 填空题
（1） 已知数列un?3n?1的极限为3，则n至少为 ，可使un?3?0.01； nn至少为 ，可使un?3?0.001。
（2）指出当x? 时，下列变量是无穷小量。
x?1x?1（当 时）； （当x? 时）； x?x2?1x2?1sinx（当x? 时）； ln(1?x)（当x? 时）；
e1x?1（当x? 时）；
sinx （当x? 时）； xxsin11（当x? 时）； （当x? 时）； xln(1?x)2?3 （当x? 时）； 5?x44