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(在以上推演中，若令例23 求极限limsinx????1?t，则可将极限的自变量变化趋势转化为t?0) xx?1?sinx
x????【分析】由于极限limsinx?1及limsinx都不存在，所以不能用极限的四则运算法
x???则。
解 利用三角公式sin??sin??2sin???2cos???2，可得
x???limsinx?1?sinx
??x?1?xx?1?x?lim2sincosx???22?lim2sinx???2x?1?x?1?cosx?1?x
2因为lim2sinx???2x?1?xx????1??0，cosx?1?x是有界变量，无穷小量与有界量
2的乘积是无穷小量，所以limsin?x?1?sinx=0.
?在上面解题过程可见，将分子或分母有理化，是计算含根式的极限的有效的方法之一。
x2?ax?b)?0，求a与b 例24 已知lim(x??1?xx2??，lim(ax?b)??，所以，这是???型【分析】显然，a?0。由于极限limx??x??1?xx2x2?ax?b)?lim?lim?ax?b?。通常，将函数适未定式，不能将此极限写成lim(x??1?xx??1?xx??当变形，转化为乘积或商的形式。
解法一 将函数通分，化函数为两个多项式的商，得
?x2x2?ax?ax2?bx?b1?a?x2??a?b?x?blim(?ax?b)?lim?lim?0 x??1?xx??x??1?xx?1注意到x??时两个多项式的商的极限的有关结论，可知，分子中平方项的系数及一次项的系数都等于0，所以
1?a?0,a?b?0，所以a?1,b??1
1x2?ax?b)?0 解法二 因为lim?0，且lim(x??xx??1?x30
?x2?1x21?所以 lim?(?ax?b)?lim?lim??ax?b??0 ?x??xx??x??1?xx?1?x?1x2b??x而lim?(?ax?b)?lim??a???1?a，所以1?a?0，所以a?1 x??xx??1?x1?xx??x2??x?将a?1代入原式，lim(?ax?b)?lim??b???1?b?0，所以b??1
x??1?xx??1?x??
例25 在计算极限时，怎样恰当使用等价无穷小代换？
答 使用等价无穷小代换的依据是定理2-8 即：“ 设?～??，?～??且lim则 lim??存在，??????lim”，它是根据函数的商的极限运算法则来证明的。即： ???lim????????????????lim?????limlimlim?lim
???????????????注1 用来代换的无穷小??，??在极限的自变量的变化过程中不能等于零。否则，
因此，在使用等价无穷小代换时，要注意以下几个注意点：
在计算lim?????????????的分母将取到等于零的数值，使分式没?lim????时，函数
?????????????有意义。例如，下面的计算过程是错误的
1??1sin?x2sin?x2sinx?x?limxsin1?0 lim??limx?0x?0x?0xxx这是因为推演的第一步运用了sin(xsin)~xsin为当x?0时，xsin221x21（当x?0时），这是不对的。因x111有可能取到数值0（例如x?。正确?0,sinn??0）2xn??n??2的解法是：当x?0时，sin?xsin??1?122??xsin?x，因此 x?x1??sin?x2sin?x???x x 31
1??sin?x2sin?x???0. 而limx?0，故limx?x?0x注2 求分式limf(x)的极限时，当分子或分母是几个无穷小的代数和时，若作为无穷g(x)小量的各项用其等价无穷小代换，则有可能得到错误的结果。
这是因为，如果f1?x?,f2?x?都是无穷小量，且limf(x)?f2?x?f(x)，当极限?lim1g(x)g(x)limf1(x)f(x)或极限lim2不存在时，不能用极限的四则运算法则，即不能得到g(x)g(x)f(x)f2(x)f(x)f(x)f(x)+lim2，从而不能对此等式右端这两个?lim(1?)?lim1g(x)g(x)g(x)g(x)g(x)lim极限分别用等价无穷小代换。
x?x?x2x?x2?lim?0x?x例如lim是错误的，其中推演的第一步将分子中的
x?0x?0x2x2xx?x2用其等价无穷小x来代替只有在lim2及lim都存在的前提下才能进行，可是
x?0xx?0x2??x??x?x2?xx?x2x2lim2及lim都不存在。显然lim?lim2?1. 22x?0xx?0x?0x?0xxx又例如：
tanx?sinxx?xtanx?sinxtanxsinx?lim?0lim?lim?lim以及都33333x?0x?0x?0x?0x?0xxxxxtanxsinx是错误的。这是因为lim3,lim3都是不存在的，故不能用极限的四则运算法则，即
x?0xx?0xtanx?sinxtanxsinxlim?lim?lim。正确的解法是 x?0x?0x3x?0x3x31?cosxsinx()tanx?sinxcosx?lim[sinx?1?cosx??1] lim?limx?0x?0x?0cosxx3x3x31x?x211?lim[23?]?. x?0cosx2x13由此例还可知：x?0时，tanx?sinx~x。
2推演lim但是，若极限lim32
f(x)?f2?x?f(x)，f1(x),f2(x)，g(x)是无穷小量，且极限?lim1g(x)g(x)limf1(x)f(x)及极限lim2都存在，则可以根据极限的四则运算法则得g(x)g(x)f(x)f2(x)f(x)f(x)f(x)+lim2， 这时，f1(x)（f2(x)）与g(x)?lim(1?)?lim1g(x)g(x)g(x)g(x)g(x)lim是同阶无穷小量或f1(x)（f2(x)）是比g(x)高阶的无穷小量，可以考虑用它们的等价无穷小代换。 例如limtanx?sinxtanxsinxxx11?lim?lim?lim?lim???0.
x?0x?0sin2xx?0sin2xx?02xx?02xsin2x22ex?tanx?1ex?1tanx?lim?lim?1?1?2. 及 limx?0x?0x?0xxxsin2x?tanxsin2xtanx?lim?lim?0?1?1 和 limx?0x?0x?0xxx
注3 要善于套用基本的及常用的等价无穷小代换关系。
基本的及常用的等价无穷小代换关系有：
x?0时，sinx~x ； arcsinx~x ； 1?cosx~ tanx~x ； arctanx~x ；
12x； 2ex?1~x ； ln(1?x)~x
在学习了求极限的罗必塔法则（第三章）后，还可得到
x?0时，x?sinx~?131x ； x?ln(1?x)~x2 ； 62 ?1?x??1~?x,其中?为非零常数，
特别当??11(n为自然数）时，有n1?x?1~x； nn上面这些式子中的x起着“位置占有者”的作用。即，套用上述等价关系时，在符合前面“注1”中提到的事项的前提下，可将这些式子里的无穷小量x换成其等价的无穷小?(x)1??(x))~?(x)，进而利用相应的穷小代换以达到例如，若??x??0,且??x??0，则ln(简化运算的目的。例如，由a?exxlna(a?0)，x?0时，xlna?0，所以，
ax?1?exlna?1~xlna；
注4 套用基本的及常用的等价无穷小代换关系时，要确认有关的量在极限自变量变化趋
势下是无穷小量，不能只看函数的形式。 例如
33
推演limsinxx1?lim?1是错误的（x??时，x及sinx都不是无穷小量，但是无
x??x??xxx穷小量，无穷小量与有界量的乘积是无穷小量，所以正确的推演是
limsinx1?limsinx?0）
x??x??xxsin2x2x2?lim?是错误的推演lim（x??时，2x及3x不是无穷小量。所以sin2xx??sin3xx??3x3及sin3x不与2x及3x等价。正确的推演是令x???t,则x???t?0，所以
limsin2xsin2(??t)sin2t2t2?lim?lim?lim??）
x??sin3xt?0sin3(??t)t?0?sin(3t)t?0?3t31ln1?x?x2?x3 ， x?0x例 26 计算 lim??解 注意x?0时，??x??x?x2?x3?0，
ln(1??(x))?ln1?x?x2?x3~x?x2?x3，
1x?x2?x323?1. 所以limln1?x?x?x?limx?0xx?0x????例27 计算limxsinx??2x x2?1解 因为lim2x2x2x?0sin~(x??) ， 22x??x2?1x?1x?12x2x2x2xsin2x?2?lim2?lim?2 故有 limx??x??x??x?1x?1x?1例 28 无穷小量的等价关系符号“~”与“约等于”号“?”有什么区别和联系？
答 无穷小量的等价关系符号“~”与“约等于”号“?”有区别，也有联系。 （1）“~”是用于联系等价两个无穷小量的关系符号，即“~”两端是无穷小量，并且它们等价；约等于符号“?”两边是数值接近的数值或函数，它们可以是相互等价的无穷小量，也可以不是无穷小量。因此，通常不能对等价关系符号“~”号两边的式子用“移项”来变形，而“约等于”符号“?”两端的式子可以进行“移项”。例如，不能由“x?0时e?1~x”通过移项推得“e~1?x”。事实上，当某个量不是无穷小量时，它就不能作为“~”的一
x端的量。x?0时，e,x?1都不是无穷小量，所以e~1?x是不对的。
xxx(2)另一方面, 若在自变量的某个变化趋势下，例如x?a时，无穷小量??x?与??x?等价，即lim??x??lim??x??0,且limx?ax?a??x??1，则可以推出，在点x?a的某空心邻域，有x?a??x?34