??x???x??1?o(x)，其中limo?x??0，所以，只要x充分趋近a，就有?1，所以，这
x?a??x???x?时，??x??
??x?。从这个意义上说，在自变量变化到某个范围时，等价关系符号“~”可
x以换成“约等于”符号“?”。例如，由“x?0时e?1~x”可推出：当x的绝对值充分小时，e?1?x，从而，当x的绝对值充分小时，e?1?x。但反之，通常由于约等于符号“?”两边不一定是相互等价的无穷小量，所以不能随便将约等于符号“?”换成等价关系符号“~”，例如，即使x的绝对值充分小，也不能将e?1?x改写成e~1?x。 （3）等价无穷小量关系符号“~”两端的量及“约等于”符号“?”两端的量都不能在计算
极限时无条件地相互替换。
xxxxex?x?1x例如，计算极限lim，不能将e用1?x代替并进行如下推演2x?0xex?x?1(1?x)?x?10xlim?lim?lim?0e?1替换成x。 ，同样，这里也不能将222x?0x?0x?0xxx这是因为，这样代替后，实际上把本应是一个关于x的高阶无穷小量e?x?1变成了常量0了。 学习了函数的麦克劳林公式后，就可知道：
x12131ne?xe?1?x?x?x???x?xn?1,(0???1)
2!3!n!?n?1?!x12131ne?xn?1从而e?x?1?x?x???x?x,?0???1?
2!3!n!(n?1)!xex?x?112131ne?xn?11所以lim=lim(x?x???x?x)2
x?0x?02!x23!n!x?n?1?!?11?11n?2e?xn?1x2?lim??x???x?x?。因此，e?x?1是与x同阶的无穷小?x?0?2!3!n!?n?1?!???2量。
此外，学习了第三章中的罗必塔法则后，还可以用罗必塔法则计算出此极限。 例 29 由函数在点x0处连续，是否可推断此函数在x0的某个邻域内也连续？ 答 未必。例如函数
?0,x为有理数f?x???2
?x,x为无理数在
x?0处连续，因为0?f(?0x?2)?f（(0）?)x?2x因?此，?35
?x?0lim[f(0??x)?f(0)]?0，即函数f(x)在x?0处连续。
但当x?0时，函数f(x)不连续。事实上，?x0?0，取一个收敛于x0的有理数数列
???xn??x0?，于f?xn??0；再取一个收敛于x0的无理数数列?xn?xn??xn?x0?，于是limn?????x0，因此limf(x）是limf?xn不存在，故f(x)在x0处不连续。
2n??x?x0
例30 是否存在这样的函数，在其定义域的每个点处都不连续？ 解 有这样的函数。例如f(x)???1,x为有理数?0，x为无理数x?x0。此函数的定义域为实数集R。
函数f(x)在点x0处连续的定义是：limf(x)?f(x0)，即
???0,???0,使当x满足不等式x?x0??时，就有f(x)?f(x0)??。 ?1,x为有理数对于函数f(x)??
0，x为无理数?1，对于???0，?x1（x1为无理数）满足不等式21x?x0??，使f(x1)?f(x0)?0?1?1???，所以limf(x)?f(x0)；
x?x021（2）若x0是无理数，因为???，对于???0，?x2（x2为有理数）满足不等式
21x?x0??，使f(x2)?f(x0)?1?0?1???，所以limf(x)?f(x0)。
x?x02（1）若x0是有理数，因为???所以此函数在任意一点都不连续。
???lncos(x?1)/(1?sinx),x?1例31 设函数f(x)?? 2?1,x?1?问函数f(x)在x?1处是否连续？
(x?1)21?(cos(x?1)?1)]~cos(x?1)?1~?,(x?1) 解 因为lncos(x?1)?ln[21?sin?2x?1?sin[??x?1??2?2]?1?cos?(x?1)212~?2?x?1?,(x?1) 836
所以，limf(x)?limx?1lncos(x?1)42?lim??2 x?1x?11?x?1?sin?2?x?1?2282?x?1??而f(1)?1,所以limf(x)?f(1)，因而f(x)在x?1处不连续。
x?1例 32 研究函数f(x)?limn??x?1?sin??x???sin??x?1??1?sin??x??nn （?1?x?1）的连续性。
【分析】 函数f(x)的自变量为x， f(x)用极限形式给出。在极限中，遇到自变量变化趋势为n??时，约定n是指自然数。求极限时，x是参数，不是自变量。当x在某范围内取值确定后，求极限时，x是常数，n为变量，?1?sin??x??就是底数为常数、指数为变
n量的指数函数。因此极限存在与否及极限存在时等于什么数值， 要按底数1?sin??x?大于1、小于1、等于1进行讨论。即分sin??x??0,?0,?0三种情况讨论，也即分
0??x??;????x?0;?x?0,??，也就是0?x?1,?1?x?0,x?0,?1。
解 （1）当x??1时，f(x)?limn??x?1?sin??x???sin??x?n1??1?sin??x??nn
?limn???1?1?sin??????sin????1??1?sin?????1??
21?1nn
??1?1n?limn??（2）当?1?x?0时，0?1?sin??x??1，所以lim?1?sin??x???0，
nn??因此，f(x)?limn??x?1?sin??x???sin??x?n1??1?sin??x??n?sin??x?
（3） 当x?0时，f(x)?limn??x?1?sin??x???sin??x?n1??1?sin??x??n??n=0
n（4） 当0?x?1时，1?sin??x??1，所以lim?1?sin??x????，
因此f(x)?limn??x?1?sin??x???sin??x?nx??limn??sin(?x)?1?sin(?x)?n11??1?sin??x??n?x
1??1?sin(?x)?n37
（5） 当x?1时，f(x)?limn??x?1?sin??x???sin??x?n1??1?sin??x??n=1
综上所述，得
?1x??1??2,??sin(?x),?1?x?0 f(x)??
x,0?x?1??1x?1?,?2下面研究处函数f(x)的连续性
（1）lim?f(x)?lim?sin??x??0?f(?1)，所以，在x??1处函数不是右连续。
x??1x??1f(x)?limx?0?limf(x)?limsin??x??f(0)，所以，函数在x?0处连（2）lim????x?0x?0x?0x?0续。
f(x)?limx?1?f(1)，所以函数在x?1处不左连续。 （3）lim??x?1x?1在函数定义域的其它区间内，函数连续。
??1?1n注1 limn??1?1n??1nn??。其中极限lim1=lim1?1。lim1不是1型未定式。记号1中
n??n??n??2的1不是常数1，而是代表以1为极限的不为常数的变量。 注2 研究函数f(x)的连续性时，x是自变量。 例33 判断函数f(x)?limn??narctannxn?n2是否连续。若不连续，指出间断点的类型。
解 注意到求极限时变量是n，是自然数，limn??nn?n2?1。
????2,x?0?limarctannx??0,x?0。 n?????,x?0?2????2,x?0?x?0。函数在???,0?和?0,???内连续。 所以f(x)??0,???,x?0?238
点x?0处左、右极限分别为???,。所以此函数在x?0处不连续，点x?0是函数的跳22跃间断点。
例34 两个不连续的函数的和、差、积、商一定是不连续函数吗？ 解 未必。例如
?1,x?0?0,x?0（1）f(x)??，g(x)??，它们在x?0处不连续，但f(x)?g(x)?1连
0,x?01,x?0??续，f(x)g(x)?0连续。
（2）f(x)???1,x?0??1,x?0f(x)，g(x)??它们在x?0处不连续，但??1连续。
g(x)?1,x?01,x?0??例35 （单项选择题）设函数f(x)和??x?在???,???内有定义，f(x)为连续函数，且
f(x)?0，??x?有间断点，则（ ）
A
???x??2必有间断点 B ??x?必有间断点
f(x)C
??f(x)?必有间断点 D f???x?? 必有间断点
?1，x?02，则??x?有间断点，但???x??=1连续。
??1,x?0解 选B 。理由如下 A 不对。例如??x????1，x?02C 不对。例如??x???，f(x)?x，则??f(x)?=1连续。
??1,x?0D 不对。例如??x????1，x?02，f(x)?x，则f???x??=1连续。
??1,x?0B 正确。这是因为，设??x?有间断点x0，则
（1）若??x?在x0处无定义，则续。
(2)若??x?在x0处有定义，但在点x0处极限lim??x?不存在，注意f(x)为连续函数，
x?x0??x???x?在点x0也无定义，从而函数在点x0不连f(x)f(x)且f(x)?0，所以，极限limx?x0??x?11?，从而极限lim极限也不存在。（否则，
x?x0??fxf(x)f(x0) 39