2n?3 （2）原式=limarctann?? 解（1）原式=limn??n??21515?1?2nn3?（3）
n2??n?n?1?n22?22n?nn2?n????n2?2n22?n?2???n?n2?n2?n?2n2?n22?1??n2?2n22?22?2???n?n2?n22?n2?2?n?n?1?2 22n?1n2?n?1??n2?2n2?1?2???n?n?n?1?2?n?1?2???n?2n2??n2?1?2??n?n?1?n?n?1?n222而lim?1，lim?1 2222n??n??n?nn?1n2????所以，由夹逼定理得，原极限=1
?1?1????2?（4）原式 =limn??11?2（5）原式=limn?1?2
?x?1??3 （x?2）x?2x?22（6）原式=
3（7）原式=limeex2?xx?12x?11x???=limex???x?x?x?122?limex???x?x?x?122?e
1223（8）原式=4
3?ax2?ax2?x2?x?bx?b(a?1)x2?（1?b)x?b?（9）lim??x?b?lim?lim?0 ?x??x???x?1x??x?1x?1??所以a?1,b??1
50
x11（10）原式?xlim???x2?1?x?xlim????1?12 x2?1（11）原式?1xlimx???x2?1?x?xlim?????1?1?12
x2?1（12）原式?lim2x???x?1?x?1?0
（13）令t?41?x，则x?0?t?1。
x1?t4?1?t??1?t??1?t2lim?x?01?41?x?limt?11?t?limt?11?t?4 （14）原式?lim2(1?x)x?1?x?2?(x?1)??23
(15) 原式?lim?x?3??x?1?x?9(x?3)?x?3??23 (16) 原式?limx?1?2x?1x2?1?lim11x?1x?1?2 4（1）2
（2）0（有界量乘以无穷小量）
（3）原式=limsin11x??xx?1
（4）原式=limtanxx?0x?limsinxx?0x?1?1?0 sinx(1?1)（5）原式=limcosxsinx1?cosx1x?0x3?limx?0x?x2?cosx?1?12?1?12（6）原式=23
1（7）原式=limlnlimln(1?2x)lim?2xsinx?1?2x?0xx?0e?ex?0sinx?ex??e?2
（8）原式=lim1?x?1sinxxx?limx?0x=12?1?3?02 （9）原式=lim2x?3x2x?0x?2 51
（10）原式=lim?cosx?x?01cosx?1=
lim?1?cosx?1?x?02ln(1?x)x?0xlim1cosx?1=
e
（11）原式=limex?02ln?[1?ln(1?x)]?x?e?e2
1x?x?1????1????9lim?1???（12）原式=lim9(???1)?x????x??????3????3?2x1xx???9，此题也可用夹逼准则做。 ??1?12?12?x?(1?cosx)122（13）原式=lim222?lim?4??
x?0x?08x?xxe???，lime?0，左右极限不等。 5.（1）极限不存在。因为lim??x?0x?01x1x（2）极限存在。因为limx?0x1?e1xx?=lim?x?011?e1x?0?0?0，lim?x?0x1?e1x?0?0 1?0所以原式=0
ex?11?e?xex?10?1?lim?1，limx???1。 （3）极限不存在。因为limxx???e?1x???1?e?xx???e?10?1（4）极限存在，且原式=limx?2sinx?0（无穷小量乘以有界量）
x??3x2?x?11(5) 极限存在，且原式=0。因为limsin?0，cosx有界（无穷小量乘以有界量）。
x??xx?0（6）limxsin??2x??2x?x?0故由无穷小量乘以有界量可=0（因为?1sin??2?1?有界，lim2x?0?x??x?得结论）
（7）极限不存在。这是因为
11112，1?x2?lim?1?1lim1?x?lim??1??1，左右极限存22x???xx???x???x???xxxlim在但不相等。
arctan（8）极限不存在。因为lim?x?11?1??，limarctan??，左右极限存在但?x?1x?12x?12不等。
（9）极限不存在。因为存在两个数列xn?1,yn?n?1n???，使得
2???f(xn)?n?sinn??0?0， f(yn)?(n??)sin(n??)?n?????
22252
?2x?1??3,lim?f(x)?lim??x?2??3,所以极限limf(x)=3 f(x)?lim（10）lim??x?1x?1x?1x?1x?126. 由题设可得limx?bx?c?0，所以1?b?c?0，所以c??(1?b)，将
x?1??x2?bx?c?5， c??(1?b)代入limx?11?x?x?1??x?b?1???(2?b)?5 x2?bx?cx2?bx?1?b?lim?lim得limx?1x?1x?11?x1?x1?x所以b??7，代入c??(1?b)得c?6。 7
?x2x2?ax?ax2?b?bx1?a?x2??b?a?x?b?ax?b)?lim?lim?1 因lim(x??1?xx??x??1?x1?x所以??1?a?0，所以a?1,b?2
?b?a?12?12?11x1x8 因为limf(x)?lim??x?0x?0?1，limf(x)?lim??x?0x?02?12?11x1x??1，所以极限limf(x)x?0不存在，故此函数在x?0处不连续。 9 先求函数表达式。
1?x2n2n2n???2,limlim(1?x)?0,lim1?xx?x） ?0,当x?1时，f(x)?limx（因
n??n??n??n??1?x2n当x?1时，因limxn??2n?limxn????n21?x2n?x ?0，故f(x)?limxn??1?x2n11?x2n当x?1时，因lim2n?0，故f(x)?limxn??xn??1?x2n1?12n?limxx??x n??1?1x2n?x,x?1?所以f(x)??0，x?1
???x,x?1显然f(x)在区间???,?1?,?1,???,??1,1?内连续； 在x??1处，lim?f(x)?lim?x??1?f(?1)?0，
x??1x??1f(x)?lim?x??1?f(1)?0 在x?1处lim??x?1x?1 53
所以函数在x??1处及x?1处不连续。综上可得：
函数在x??1处不连续，连续区间为???,?1?,?1,???,??1,1?。 10 由题设知limf(x)?f(0)?a
x?0而limf(x)?lim??x?0x?0ln(1?2x)1?x?1?x?lim2x1?x?1?x?2
x?02x??x?0limf(x)?limx2?b?b ??x?0??所以a?b?2
11 （1）在x?0及x?1处，函数无定义，所以这两个点为函数的间断点。在除此两点外的区间上函数连续。
e3x?13x因lim?lim??3，所以x?0为可去间断点。 x?0x?x?1?x?0x?x?1?e3x?1因lim??，所以x?1为无穷间断点。 x?1x?x?1?（2）在x?0处函数无定义，且limf(x)?limxsinx?0x?01?0（无穷小量乘以有界量） x所以x?0为可去间断点。 （3）f(x)?lnxx?3x?22?lnx?x?1??x?2?，函数在点x?0，x?1,x?2处无定义，所以
点x?0，x?1,x?2为间断点。
limf(x)??，所以x?0为无穷间断点
x?0limf(x)?limx?2x?2lnx?x?1??x?2?lnx??，所以x?2为无穷间断点；
11lnx1x?1limf(x)?lim?lim???1?limlnx??limln?1?x?1?x?1??1lne??1x?1x?1?x?1??x?2?x?1x?1x?2x?1x?1所以x?1为可去间断点。
f(x)?limlnx???，所以点x?0为无穷间断点。 （4）lim??x?0x?012 设函数f(x)?x?sinx?2，则此函数在???,???上连续。f(0)??2，
f(3)?3?sin3?2?1?sin3?0，故由零值定理知，此函数在区间?0,3?内至少有一个零
点，所以方程x?sinx?2至少有一个不超过3的实根。
13 因limf(x)?A(常数），所以对于任意给定的正数?，存在X?0,当x?X时，
x???54
f(x)?A??,故当x??X,???时，有f(x)?f(x)?A?A?f(x)?A?A???A。
即函数f(x)在区间?X,???有界；而在区间[a,X]上，函数f(x)连续，所以在该区间上函数f(x)有界。所以函数在[a,X]??X,???有界，即在[a,??)有界。 14 由题设知：limln(1?f(x)x?0sin2x)?0，所以limf(x)x?0sin2x?0，
ln(1?f(x))所以limsin2xf(x)1f(xx?03x?1?limx?0sin2x?xln3?ln3lim)x?02x2?12ln3limf(x)x?0x2?5 所以limf(x)x?0x2?10ln3。
55