专题二 函 数
函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．
§2－1 函 数
【知识要点】
要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．
1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．
2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．
其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．
3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心． 【复习要求】
1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象． 2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．
3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．
4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域． 【例题分析】
例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．
【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x． 所以，2的象是22＋2＝6；
设象20的原象为x，则x的象为20，即2x＋x＝20．
由于x∈N，2x＋x随着x的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．
例2 设函数f(x)???x?1,x?0,??x?2x?2,x?0,2则f(1)＝______；若f(0)＋f(a)＝－2，则a
的所有可能值为______．
【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则． 所以f(1)＝3．
又f(0)＝－1，所以f(a)＝－1，
当a≤0时，由a－1＝－1得a＝0；
当a＞0时，由－a2＋2a＋2＝－1，即a2－2a－3＝0得a＝3或a＝－1(舍)． 综上，a＝0或a＝3．
例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )
(A)y?x2,y?(t)2
(B)y?|x|,y?t2
x2?1,y?x?1 (C)y?x?1x2(D)y?x,y?x
【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y＝｜x｜及y＝｜t｜，法则也相同，所以选(B)．
【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．
一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．
例4 求下列函数的定义域
(1)y?x?1?1;
(2)y?1x?2x?32;
lg(3?x)?(x?1)0; (3)y?x1?x2(4)y?;
|2?x|?2解：(1)由｜x－1｜－1≥0，得｜x－1｜≥1，所以x－1≥1或x－1≤－1，所以x≥2或x≤0．
所以，所求函数的定义域为{x｜x≥2或x≤0}． (2)由x2＋2x－3＞0得，x＞1或x＜－3．
所以，所求函数的定义域为{x｜x＞1或x＜－3}．
?3?x?0,?(3)由?x?得x＜3，且x≠0，x≠1， ?0,?x?1??0,?所以，所求函数的定义域为{x|x＜3，且x≠0，x≠1}
?1?x2?0，?1?x2?0，??1?x?1,(4)由?所以－1≤x≤1，且x≠0． 得?即??0,且x??4,?2，?x??|2?x|?2?0,?|2?x|?所以，所求函数定义域为{x｜－1≤x≤1，且x≠0}．
例5 已知函数f(x)的定义域为(0，1)，求函数f(x＋1)及f(x2)的定义域．
【分析】此题的题设条件中未给出函数f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x的取值范围；②受对应法则f制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f(x)的定义域是(0，1)可知法则f制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f(x＋1)中，受f直接制约的是x＋1，而定义域是指x的范围，因此通过解不等式0＜x＋1＜1得－1＜x＜0，即f(x＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f(x2)的定义域为{x｜－1＜x＜1，且x≠0}．
例6 如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域．
解：根据题意，AB＝2x．
l?2x?πx? 2l?2x?πx1π??πx2??(2?)x2?lx. 所以，y?2x?222?πx,AD??x?0,l?得0?x?. 根据问题的实际意义．AD＞0，x＞0．解?l?2x?πx2?π?0,?2?所以，所求函数定义域为{x|0?x?l}? 2?π【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．
(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．
中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y＝tanx，则x?kπ?π，k∈Z． 2(2)不给出f(x)的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．
(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制．
另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．
x，求f(x)的解析式； 21?x112(2)已知f(x?)?x?2，求f(3)的值；
xx例7 (1)已知f()?(3)如果f(x)为二次函数，f(0)＝2，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，求f(x)的解析式；
(4)*已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于直线x＝1对称，求f(x)的解析式． 【分析】(1)求函数f(x)的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．
方法一．f()?1x1x11?xx?1()2?1x1x?通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则
x? 2x?1f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”．所以，f(x)?方法二．设
11?t，则x?．则f(t)?xt1t1?1t2?xtf(x)?? ，所以22x?1t?1这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么． (2)用“凑型”的方法，f(x?)?x?1x2112?(x?)?2.所以f(x)?x2?2,f(3)?7. 2xx(3)因为f(x)为二次函数，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，
所以，可设f(x)＝a(x－1)2－1，
又f(0)＝2，所以a(0－1)2－1＝2，所以a＝3． f(x)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2．
(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式．
设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x＝1对称点的坐标为Q(2－x，y)，由已知，点Q在函数y＝g(x)的图象上，
－
所以，点Q的坐标(2－x，y)满足y＝g(x)的解析式，即y＝g(2－x)＝22x，
－
所以，f(x)＝22x．
【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．
值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．
例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，且图象在y轴上的截距为－3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式．
解：解法一
设f(x)＝ax2＋bx＋c，
由f(x)的对称轴为x＝1，可得b＝－2a；
由图象在y轴上的截距为－3，可得c＝－3；
由图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程ax2＋bx＋c＝0的根． 所以f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，所以a＝1． f(x)＝x2－2x－3． 解法二
因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程f(x)＝0的根． 所以，设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，
又f(x)图象在y轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点． 即－3a＝－3，a＝1．所以f(x)＝x2－2x－3．
【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重． 二次函数的解析式有三种形式： 一般式y＝ax2＋bx＋c；
顶点式y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点坐标；
双根式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．
例9 某地区上年度电价为0.8元／kW2h，年用电量为akW2h．本年度计划将电价降到0.55元／kW2h至0.75元／kW2h之间，而用户期望电价为0.40元／kW2h．
经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为
k)．该地区电力的成本价为0.30元／kW2h．
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?
解：(1)依题意，当实际电价为x元／kW2h时，用电量将增加至故电力部门的收益为y?(k?a,
x?0.4k?a)(x?0.3)(0.55?x?0.75)．
x?0.4(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a，依题意，
(0.2a?a)(x?0.3)?a(0.8?0.3)(1?20%),且0.55≤x≤0.75，
x?0.4解得0.60≤x≤0.75．
所以，当电价最低定为0.60元／kW2h时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．
练习2－1
一、选择题 1．已知函数f(x)?1的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝( ) 1?x(A){x｜x＞1} (B){x｜x＜1} (C){x｜－1＜x＜1} (D)? 2．图中的图象所表示的函数的解析式为( )
3|x?1|(0?x?2) 233(B)y??|x?1|(0?x?2)
223(C)y??|x?1|(0?x?2)
2(A)y?(D)y＝1－｜x－1｜(0≤x≤2)
3．已知f(x－1)＝x2＋2x，则f()?( )
1x12(A)2?
xx1(B)2?1
x3x2?4x?1(C) 2x(D)
2x?1 2x?x?3,x??1,?24．已知f(x)??x,?1?x?2,若f(x)＝3，则x的值是( )
?3x,x?2?