(1)若a＞b＞c，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点； (2)若对x1，x2∈R且x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，方程f(x)?1[f(x1)?f(x2)]有两个不等实2根，证明必有一实根属于(x1，x2)．
证明：(1)因为f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0，又a＞b＞c，所以a＞0，c＜0，即ac＜0， 所以△＝b2－4ac≥－4ac＞0，
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，所以函数f(x)必有两个零点．
1[f(x1)?f(x2)]， 211则g(x1)?f(x1)?[f(x1)?f(x2)]?[f(x1)?f(x2)],
2211g(x2)?f(x2)?[f(x1)?f(x2)]?[f(x2)?f(x1)],
2212所以g(x1)g(x2)??[f(x1)?f(x2)]，因为f(x1)≠f(x2)，所以g(x1)g(x2)＜0，
4(2)令g(x)?f(x)?所以g(x)在区间(x1，x2)上必有一个零点，即方程g(x)＝0有一实根属于(x1，x2)， 所以方程f(x)?1[f(x1)?f(x2)]必有一实根属于(x1，x2)． 2练习2－6
一、选择题 1．已知3是函数f(x)＝x3－3x2－x＋3的零点，则以下各点中一定在这个函数图象上的是( ) (A)(－3，0) (B)(3，0) (C)(0，2) (D)(2，0) 2．下列函数图象与x轴均有交点，但不易用二分法求交点横坐标的是( )
3．已知－3，0，2都是函数f(x)的零点，则不可能是不等式f(x)＞0的解集的是( ) (A)(－3，0) (B)(0，2) (C)(－3，2) (D)(2，5) 4．方程log2(x＋3)＝2x解的情况是( ) (A)仅有一根 (B)有两个正根 (C)有一个正根和一个负根 (D)有两个负根 二、填空题
5．若函数f(x)是偶函数，且函数f(x)有三个零点，则这三个零点之和等于______． 6．函数f(x)?x?4的零点是______． x7．已知函数f(x)＝x5－5x＋6，用二分法求这个函数的一个零点时，可将初始区间取为______． 8．若方程2ax2－x－1＝0在(0，1)内恰有一解，则a的取值范围是______． 三、解答题
9．求函数f(x)＝x(x2＋6x＋8)的零点，作出它的图象的草图，并解不等式f(x)≤0．
10．设函数f(x)???2x?2,x?[1,??),2?x?2x,x?(??,1)求函数f(x)?1的零点． 4
11．已知函数y＝x3的图象与一次函数y＝x＋1的图象有且只有一个交点(x0，y0)．
求证：x0∈[0，2]．
习题2
一、选择题
1．若函数f(x)在区间[a，b]上为减函数，则f(x)在[a，b]上( ) (A)至少有一个零点 (B)有一个零点 (C)没有零点 (D)至多有一个零点 2．若a＝20.5，b＝log?3，c?log2sinπ，则( ) 5(C)c＞a＞b
(D)b＞c＞a
(A)a＞b＞c (B)b＞a＞c 3．设a＜b，函数的图象可能是( )
4．函数f(x)＝x｜x＋a｜＋b是奇函数的充要条件是( ) (A)ab＝0 (B)a＋b＝0 (C)a＝b (D)a2＋b2＝0
5．设a＜c＜b，如果把函数y＝f(x)的图象被两平行线x＝a及x＝b所截的一段近似地看作一条线段，则以下关系式中，f(c)的最佳近似表示式是( )
1[f(a)?f(b)] 2c?a[f(b)?f(a)] C．f(c)?f(a)?b?aA．f(c)?二、填空题 6．2lg5?B．f(c)?f(a)f(b)
c?a[f(b)?f(a)] b?aD．f(c)?f(a)?2lg8等于______． 32227．已知log1b?log1a?log1c，则2b，2a，2c的大小关系为______．
8．已知f(x)＝x3－6x2＋11x－6，而且f(0)＜0，f(4)＞0，则用二分法可求得这个函数在区间[0，4]内的零点(精确到0.1)为______．
9．奇函数f(x)在[3，7]上是增函数，在[3，6]上的最大值是8，最小值是－1，则2f(－6)＋f(－3)等于______
10．对于函数①f(x)＝lg(｜x－2｜＋1)，②f(x)＝(x－2)2，③f(x)＝cos(x＋2)，判断如下两个命
题的真假：
命题甲：f(x＋2)是偶函数；
命题乙：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是______． 三、解答题
11．计算：log220－log25＋2log322log43的值．
12．设a＞1，函数f(x)＝loga(x＋2)－1．
(1)若f(x)在[0，1]上的最大值与最小值互为相反数，求a的值； (2)若f(x)的图象不经过第二象限，求a的取值范围．
13．已知f(x)＝ax2＋5ax＋6a，其中a为非零的常数．求这个函数的零点，并确定f(x)＜0时
自变量x的取值范围． 14．已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：“在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)
＋f(1)成立”．
1是否属于集合M?说明理由； xa?M，求a的取值范围． (2)设函数f(x)?lg2x?1
专题二 函数参考答案
(1)函数f(x)?练习2－1
一、选择题
1．C 2．B 3．C 4．D 二、填空题
5．(2，－2)，(2,) 6．{x｜x≤3且x≠±2} 7．1；2 8．f(x)?2?() 三、解答题
9．答：g(－1)＝－2，g[f(1)]＝g(2)＝4．
10．提示：由y＝ax2＋c过A(0，9)点，得c＝9．∴y＝ax2＋9．
令y＝0，得?1212x9919?x2．由已知36???49．又a＜0．∴??a??. aa44911．解：依题意
①当0≤t≤1时，重合部分为边长为2t cm的直角三角形，
所以，此时y?1?2t?2t?2t2(cm2)； 2②当0＜t≤2时，重合部分为边长为2cm的直角三角形，
所以，此时y?1?2?2?2(cm2)； 2③当2＜t时，重合部分为直角梯形(如下图)，
此时，DQ＝DP＝CP－CD＝2t－4，BD＝2－DP＝2－(2t－4)＝6－2t， 所以，此时y?(DQ?AB)?BD??2t2?8t?6(cm2)；
2?2t2(0?t?1),?综上y??2(1?t?2),
??2t2?8t?6(2?t?3).?根据实际情况，当0＜t≤2时，重合部分面积最大，最大值为2．
练习2－2
一、选择题
1．D 2．B 3．A 4．D 二、填空题
5．m≤－16，f(1)≥25 6．－x－x4 7．－1 8．②． 三、解答题
9．解：(1)因为a＞0，所以a?33?23?3，又函数f(x)是单调减函数，所以f(a?)?f(3) aa(2)f(x)是单调减函数，且f(｜a－1｜)＞f(3)，所以｜a－1｜＜3，－3＜a－1＜3，解得－2
＜a＜4．
10．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数；当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设x2＞x1≥2，f(x1)?f(x2)?x1?2112?x2? x1x2x?x?1xx2[x1x2(x1?x2)?1]
12由x2＞x1≥2得x1x2(x1＋x2)＞16，x1－x2＜0，x1x2＞0
所以f(x1)－f(x2)＜0，函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数． 11．略解：(1)f(1)＝0；f(4)＝2．
(2)设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，
因为x2－x1＞0，所以f(x2)－f(x1)＞0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数．
(3)因为f(x)＋f(x－3)≤2，所以f[x(x－3)]≤2，即f[x(x－3)]≤f(4)， 又函数f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，
?x(x?3)?4,?所以?x?0,解得3＜x≤4，即x的取值范围是3＜x≤4．
?x?3?0,?练习2－3
一、选择题
1．B 2．A 3．A 4．B 二、填空题 5．
21 6．log1x 7． 8．②③ 322三、解答题
5；(4)3 12332210．f(x)??(x?4)?3??x?2x?9.
449．答：(1)7；(2)40；(3)102－
11．解：提示：(1)由已知，a1＝2，所以a?
1
．所以f(x)?log1x. 22(2)由｜f(m)｜＝｜f(4)｜(m＞0)，得f(m)＝f(4)或f(m)＝－f(4)，