值范围是______. 三、解答题 9．作出函数y?x?|x|的图象． x
10．设函数f(x)＝－4x＋b，且不等式｜f(x)｜＜k的解集为{x｜－1＜x＜2}．
(1)求b，k的值；
(2)证明：函数?(x)?
11．已知函数f(x)?14x的图象关于点p(,?1)对称．
2f(x)1?x，求证： 1?x(1)函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x成轴对称图形；
(2)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴．
§2－5 函数的最值
最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之一．函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起．
函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的． 【知识要点】
本节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用．
1．基本初等函数在特定区间上的最值(或值域)问题．解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值(或值域)．
2．一些简单的复合函数的最值问题．解决这类问题的方法通常有： (1)通过作出函数图象变成第1类问题； (2)通过换元法转化成第1类问题； (3)利用平均值定理求最值；
(4)通过对函数单调性进行讨论进而求出最值．其中讨论单调性的方法可以用单调性定义或导数的知识(导数的方法在后面相应章节复习)；
(5)转化成几何问题来求解，如线性规划问题等． 【复习要求】
从整体上把握求函数最值的方法，明确求最值的一般思路． 【例题分析】
例1 求下列函数在给定区间上的值域． (1)y＝2x－1，x∈[－2，3)； (2)y＝x2－2x，x∈(－2，2)；
(3)y?sinx,x?(?π2π,). 63【分析】分别画出三个函数的图象，看在给定区间内图象上点的纵坐标的范围．
根据上面的简图，观察得出： (1)函数的值域为[－5，5)； (2)函数的值域为[－1，8)； (3)函数的值域为(?,1].
12例2 求下列函数的最值．
(1)求函数y＝2|x|，x∈[－2，1]的最大、最小值； (2)求函数y＝sin2x－2sinx－3的最大、最小值； (3)求函数y??x2?x?2的最大、最小值；
2(4)求函数y?log1(?x2?x?2)的最小值； (5)求函数y?x?3(x?0)的最小值． x｜｜
略解：(1)利用图象变换的知识作出函数y＝2x的图象(如下图)，观察在区间[－2，1]上函数值的取值情况，得函数的最大值为4，最小值为1．
(2)设t＝sinx，因为x∈R，所以t∈[－1，1]，于是，原函数最大最小值问题转化为求函数y＝t2－2t－3，t∈[－1，1]的最大最小值问题．用例1作图观察的方法，可得最大值为0，最小值为－4．
(3)解－x2＋x＋2≥0可得－1≤x≤2，即函数的定义域为{x｜－1≤x≤2}．
设t＝－x2＋x＋2，则y＝t，
由t＝－x2＋x＋2，－1≤x≤2，可得0?t?由y＝t，0?t?所以，函数y?9， 493，可得0?y?.
242?x?x?2的最大值为
3，最小值为0． 2(4)解－x2＋x＋2＞0可得－1＜x＜2，即函数的定义域为{x｜－1＜x＜2}． 设t＝－x2＋x＋2，则y?log1t,
2由t＝－x2＋x＋2，－1＜x＜2，可得0?t?由y?log1t,，0?t?29， 499，可得y?log1.
2442所以，函数y?log1(?x?x?2)的最小值为log1229?2?2log23． 4(5)因为x＞0，所以x?所以，函数y?x?333?2x??23，当且仅当x?即x?3时等号成立．
xxx3(x?0)的最小值为23. x3例3 求函数f(x)?x?(x?[1,4])的最大、最小值．
x【分析】设x2＞x1＞0，则?x＝x2－x1＞0，
?y?f(x2)?f(x1)?x2?3333?(x1?)?(x2?x1)?(?) x2x1x2x1?(x2?x1)?3(x1?x2)3xx?3?(x2?x1)(1?)?(x2?x1)(12).
x1x2x1x2x1x2因为x2－x1＞0，x1x2＞0，
所以，只需分析x1x2－3的符号．
观察上式可知，只有当x1，x2∈[3，＋∞)时，才能保证当x1，x2在区间[3，＋∞)内任意取值时x1x2－3＞0；同时，只有当x1，x2∈(0，3]时，才能保证当x1，x2在区间(0，
3]内任意取值时x1x2－3＜0．
所以，函数y?x?3在区间(0，3]上是减函数，在区间[3，＋∞)上是增函数． x所以，函数的最小值为f(3)＝23．
33，f'(4)＞f(1)，所以函数的最大值为f(4)?4. 443综上，函数的最大、最小值分别为4,23.
4又f'(1)?4,f(4)?4另外，本题更适合用导数研究函数的单调性，进而求函数的最大、最小值．
3x2?3由已知f(x)?1?2?，解f'(x)＞0得x?3.或x??3，
xx2注意到定义域为{x｜x≠0}，可得f(x)的单调递增区间为(??,?3),(3,??)，单调递减区间为(?3,0),(0,3)．之后的解法同上．
【评析】请认真体会在知识要点中提到的求值域的方法在例1例2例3中的具体应用． 最简单也重要的是会利用基本函数的图象观察得到函数在特定区间的函数的值域，如例1；利用图象变换得到图象进而观察得到函数在特定区间的函数的值域，如例2(1)．
“换元法”求值域无非是通过换元，将复合函数的值域问题变成两个基本初等函数的值域问题，如例2(2)、(3)、(4)；
例3 通过讨论函数的单调性，进而求函数的最大最小值，这是解决函数最值问题的实质性方法．前面用到的其他方法无非是我们知道函数的图象，可以观察函数的单调性，不需要自己讨论而已．当然，有了导数的知识之后研究函数的单调性将更为便捷．
例2 (5)利用均值定理求函数的最值，这种方法可以解决一些解析式为特殊形式的函数最值问题．如y＝ax?y＝uv的最值，等等．
用均值定理求最值要注意条件：“正”“定”“等”．如利用a?b?2ab求最值应满足：①a＞0，b＞0；②a＋b或ab为定值；③a＝b可以成立．三个条件缺一不可． 例4 下列函数中值域为(0，＋∞)的是( )
(A)y?b(其中a，b同号)；uv＝常数，求y＝u＋v的最值；u＋v＝常数，求xx
(B)y?x?(D)y?()1(x?0) x1?x(C)y?lnx,x?[e,??) 解：根据幂函数的图象，y?根据均值定理，y?x?12
x的值域为[0，＋∞)；
1(x?0)的值域为[2，＋∞)； xy＝lnx，x∈[e，＋∞)的值域为[1，＋∞)；
11?x2xx?1因为y?()?2?，所以值域为(0，＋∞)．选D．
221，则a的值为______． 21310以a?． 解：当a＞1时，函数y＝ax在[0，1]上是增函数，依题意a?a?,所221101以a?． 当0＜a＜1时，函数y＝ax在[0，1]上是减函数，依题意a?a?,所2213综上，a的值为或．
22例5 函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值之差为
例6 建一个容积为8立方米、深为2米的长方体无盖水池，如果池底造价是120元／平方米，池壁的造价是80元／平方米，求当池底宽为多少米的时候水池的总造价最低，并求出最低造价是多少．
解：设BC＝x(米)，则AB?4(米)，其中x＞0， x所以底面积为4平方米，造价为12034＝480(元)． 左、右两侧面造价为803232x＝320x(元)， 前、后两侧面造价为80?2?(?2)?4x1280(元)． x所以y?480?320x?当且仅当320x?12801280?480?2320x??1760(元). xx1280，即x＝2(米)时等号成立， x所以，当池底宽为2米的时候水池的总造价最低．
【评析】例4、5、6是函数最值问题的直接应用，注意体会求最值方法的简单应用． 例7 已知f(x)＝loga(1＋x)(其中a＞1)，且在区间[1，＋∞)上f(x)＞2恒成立，求实数a的取值范围．
解：因为loga(1＋x)＞2在[1，＋∞)上恒成立． 所以loga(1＋x)＞logaa2在[1，＋∞)上恒成立， 因为a＞1，所以a2＜1＋x在[1，＋∞)上恒成立．
所以a2＜2(注：因为a2应小于1＋x在[1，＋∞)上的最小值．)
即?2?a?2，结合a＞1，得1?a?2．
所以a的取值范围是{a|1?a?2}．
例8 定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x，都有f(x)≥M(M为常数)，那么称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界．现给出下列函数：
①f(x)＝cosx；②f(x)＝lnx；③f(x)＝3x；④f(x)???x,x?0,
?1,x?0?其中有下确界的函数是____________．
略解：①因为函数f(x)＝cosx的值域为[－1，1]，即f(x)≥－1，所以下界M的集合为{M｜M≤－1}，所以M中的最大值为－1，有下确界．
②因为函数f(x)＝lnx的值域为R，不存在M，使得对于函数f(x)定义域内的任意x，都有f(x)≥M，所以这个函数没有下确界．
③因为函数f(x)＝3x的值域为(0，＋∞)，即f(x)＞0，所以下界M的集合为{M｜M≤0}，所以M中的最大值为0，有下确界．
④因为函数f(x)??下确界．
?x,x?0,的值域为{－1}∪(0，＋∞)，所以f(x)≥－1，同①，有
??1,x?0,