所以，填①③④．
【评析】例7、8是最值问题较灵活的应用．
例7中的“恒成立”问题往往和“最值”问题联系在一起，而且常常用到“分离变量”这一变形方法．
在此题中，“a2＜1＋x在[1，＋∞)上恒成立．”就是最终的“分离变量”的形式．“a2应小于1＋x在[1，＋∞)上的最小值．”就是在将恒成立的问题转化成了最值的问题．
例9 有甲、乙两种商品，经营这两种商品所能获得的利润分别记为p(万元)和q(万元)，它们与投入的资金M(万元)的关系近似满足下列公式：P?13M,q?M现有a(a＞0)万55元资金投入经营这两种商品，为获得最大的利润，应对这两种商品分别投入资金多少万元?
获得的最大利润是多少万元?
解：设对乙种商品投资x万元，总利润为y万元，则对甲种商品投资(a－x)万元．依题意，得y?设t?13(a?x)?x(0?x?a)： 55x，则x?t2(0?t?a)
1313a9(a?t2)?t??(t?)2??，其中0?t?a. 55525203939a9①当a?即a?时，ymax??此时t?即x?;
52024423933此时t?a即x＝a． ②当a?，即0?a?时，ymax?524999所以当a?时，应对乙种商品投资万元，对甲种商品投资(a?)万元，可获得最
4444a9)万元；大利润(?当0?a?时，应对乙种商品投资a万元，不对甲种商品进行投资，
52093a万元． 可获得最大利润5所以y?例10 已知函数f(x)＝－x2＋3x＋1，x∈[m，m＋1]． (1)求f(x)的最大值g(m)；
(2)当m≥1，求g(m)的最大值．
31，即m?时，g(m)＝f(m＋1)＝－m2＋m＋3； 223313313当m?1?,m?时，即?m?时，g(m)?f()?；
222224解：(1)当m?1?1?2?m?m?3,m?,?2?133?13?m?, m?时，g(m)＝f(m)＝－m2＋3m＋1．所以，g(m)??,222?43?2?m?3m?1,m??2?(2)当1?m?313313时，g(m)?，当m?时，g(m)＝－m2＋3m＋1的最大值为， 2424综上，当m≥1，g(m)的最大值为
13. 4练习2－5
一、选择题
1．下列函数中值域为(0，＋∞)的是( )
1(A)y?
x(B)y?log1x
31x(C)y?()
3(D)y?x
132．函数y＝－x2＋2ax＋1的最大值小于2，则a的取值范围是( ) (A)a＜1 (B)a＞－1 (C)a＜2 (D)－1＜a＜1 3．函数y?x?(A)2
2(x＞0)取得最大值时的自变量x等于( ) x(B)22
(C)1
(D)3
4．对于f(x)定义域内的任意一个自变量x1，都存在唯一一个自变量x2使立的函数是( ) (A)f(x)＝3lnx
(B)f(x)?x?x?2f(x1)f(x2)?3成
1 2(C)f(x)＝ex (D)y＝2x 二、填空题
5．已知f(x)是定义在[－2，0)∪(0，2]上的奇函数，当x＞0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是______．
6．设A＝[1，b](b＞1)，函数f(x)＝
1(x－1)2＋1(x∈A)，若f(x)的值域也是A，则b的值是2______．
7．已知函数f(x)＝x2－5x＋10，当x∈(n，n＋1](n＝1，2，3，?)时，函数f(x)的值域为区间Dn，若将Dn中整数的个数记为g(n)，则g(1)的值等于______；函数g(n)的解析式为______． 8．设函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的定义域为D，若所有点(s，f(t))(s，t∈D)构成一个
正方形区域，则a的值为______． 三、解答题
9．设函数f(x)＝log2x＋log2(1－x)，求f(x)的定义域及f(x)的最大值．
10．渔场中鱼群的最大养殖量为m，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便
留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比例)的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)． (1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值；
(3)当鱼群年增长量达到最大时，求k的取值范围．
11．已知f(x)＝loga(a－kax)，(0＜a＜1，k∈R)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的定义域；
(2)且f(x)在[1，＋∞)内总有意义，求k的取值范围．
§2－6 函数与方程
【知识要点】
1．如果函数y＝f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)＝0，则a叫做这个函数的零点． 函数零点的几何意义：如果a是函数y＝f(x)的零点，则点(a，0)一定在这个函数的函数图象上，即这个函数与x轴的交点为(a，0)．
2．零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不间断的，而且f(a)f(b)，则这个函数在区间[a，b]上至少有一个零点．这也是二分法的依据．
注意：上述判定零点的方法只是判断零点存在的充分条件．这种判定零点方法主要适用于在无法对函数进行作图而且也不易对函数所对应的方程求根的情况下．
如果可以画出函数的图象(这时判断函数零点的方法将是非常直观的)，如果函数所对应的方程可以求根，那么就可以用“作图”和“求根”的方法判断零点．
3．用二分法求函数y＝f(x)，x∈D零点的一般步骤为：
第一步、确定初始区间，即在D内取一个闭区间[a，b]，使得f(a)f(b)＜0；
第二步、求中点及其对应的函数值，即求x?1(a?b)＜0以及f(x)的值，如果f(x)＝0，2则计算终止，否则进一步确定零点所在的区间；
第三步、计算精确度，即计算区间的两个端点按给定的精确度取近似值时是否相等，若相等，则计算终止，否则重复第二步． 【复习要求】
1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2、能够用二分法求相应方程的近似解． 【例题分析】
例1 求函数f(x)＝x(x－2)(x－3)的零点，作出其图象的草图，并解不等式f(x)＞0．
【分析】求函数零点只需求解方程f(x)＝0即可．知道函数的零点之后，就知道了这个函数的图象与x轴的交点坐标，再通过简单的描点作出图象的草图．然后由草图可以得出不等式f(x)＞0的解集．
解：令f(x)＝0，即x(x－2)(x－3)＝0，可得x＝0，或x＝2，或x＝3．因此，所求函数的零点是0，2，3．
列表，描点作图：
x f(x) －1 －12 0 0 1 2 2 0 2.5 －0.625 3 0 5 30 由此可知，f(x)＞0的解集为(0，2)∪(3，＋∞)．
【评析】如果已经知道一个函数y＝f(x)的所有的零点，我们就能够画出这个函数的图象与x轴的交点．然后再通过描点作图，可作出这个函数的大致图象，从而可以求出f(x)＞0以及f(x)＜0等不等式的解．
因此，我们可以借助一个函数的零点去研究这个函数的一些性质．例如，我们就曾通过研究一个函数导函数的零点及导函数值的正负进而研究这个函数的单调性，最值等等．
例2 求函数f(x)?x?2?3(x?0)的零点． x2x2?3x?2解：因为f(x)?x??3?，
xxx2?3x?2?0，即x2－3x＋2＝0， 令f(x)＝0，即
x解得x1＝1，x2＝2，所以函数f(x)?x?2?3(x?0)的零点是1，2． x例3 若函数f(x)的图象在[a，b]上是不间断的，且有f(a)f(b)＞0，则函数f(x)在[a，b]
上( ) A．一定没有零点 B．至少有一个零点 C．只有一个零点 D．零点情况不确定
【分析】如图所示，满足题目条件的函数图象与x轴的交点情况是不确定的，因此选择D．
【评析】由二分法的依据可知函数在一定区间内零点存在性的一种判断方法，即如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上满足以下两个条件：
①函数图象是连续不断的一条曲线； ②f(a)f(b)＜0．
那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
在判断函数零点存在与否或判断函数零点个数的问题中应注意以下几点： (1)函数图象必须是一条不间断的曲线，图象有间断则结论不一定成立； (2)条件①与②必须同时满足；
(3)满足条件①②时，只能得出y＝f(x)的零点存在，但并不能得出零点个数的多少； (4)当f(a)f(b)＞0时，并不能说明函数f(x)在(a，b)内无零点；
(5)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，同时满足条件①②，则零点存在且唯一． 上述五点注意事项同学们可以结合函数图象的简图来理解．数形结合的思路在本节内容的学习过程中经常运用．
例3 以下区间中，一定存在函数f(x)＝x3＋3x－3的零点的是( ) A．[－1，0] B．[0，1] C．[1，2] D．[2，3]
【分析】显然，f(x)＝x3＋3x－3的图象是不间断的，因此要保证区间[a，b]内一定有f(x)的零点，只需保证f(a)f(b)＜0即可．从而，我们只需算出各个区间端点的函数值，看它们是否异号即可选出正确答案．
因为f(－1)＝－7，f(0)＝－3，f(1)＝1，所以f(0)f(1)＜0．因此函数f(x)在区间[0，1]上一定存在零点．选B．
例4 以区间[1，2]为计算的初始区间，求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(精确到0．1)．
解：用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标 a0＝1，b0＝2 计算端点或中点的函数值 f(1)＝－2，f(2)＝6 f(x0)＝0.625＞0 f(x1)＝－0.984＜0 f(x2)＝－0.260＜0 f(x2)＝0.162＞0 [1，2] [1，1.5] [1.25，1.5] [1.375，1.5] [1.375，1.4375] 定区间 (1?2)?1.5 2(1?1.5)x1??1.25 2(1.25?1.5)x2??1.375 2(1.375?1.5)x2??1.4375 2x0?由上表可知，区间[1.375，1.4375]的左右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4，所以1.4就是所求函数在给定精确度情况下的一个零点．
例5 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c．