??4a?2b?c??1,?a??4,??2
?a?b?c??1,解之得?b?4,解之得所以所求二次函数为f(x)＝－4x＋4x＋7． ?4ac?b2?c?7,???8,?4a解法二
f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
为f(2)＝－1，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x?又f(x)的最大值为8，所以f(x)?a(x?)?8.
因为(－1，－1)点在抛物线上，所以?1?a(?1?)?8，解得a＝－4． 所以所求二次函数为f(x)??4(x?)?8??4x?4x?7.
例3 (1)如果二次函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5在区间(2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是______．
(2)二次函数y＝ax2－4x＋a－3的最大值恒为负，则a的取值范围是______．
(3)函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系是_______．
解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，＋∞)上是增函数，
画简图可知此抛物线对称轴x??于是有?2?(?1)1?， 221221221222a?2或与直线x＝2重合，或位于直线x＝2的左侧， 2a?2?2，解之得a??6. 2(2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a＜0，且判别式?＜0”，即??a?0,，解得a∈(－∞，－1)．
?16?4a(a?3)?0(3)因为对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，所以抛物线对称轴为x＝2，又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得f(2)＜f(1)＜f(4)．
例4 已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的范围．
解：当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，其图象与x轴的交点为(,0)，符合题意；
当m＜0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向下，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点两侧．所以m＜0符合题意；
当m＞0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向上，所以抛物线与x轴的两个交点必在原
13??(m?3)?4m?0,?点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则?b3?m???0,?2a2m综上，m∈(－∞，1]．
2解得0＜m≤1．
【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握．
例2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用．这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用．
例5 (1)当a≠0时，函数y＝ax＋b与y＝bax的图象只可能是( )
(2)函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象分别是图中的①、②、③、④，则a，b，c，d的大小关系是______．
【分析】(1)在选项(A)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，b＞1， 所以ba＜b0＝1(根据以为底的指数函数的性质)， 所以y＝bax＝(ba)x应为减函数．
在选项(B)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，b＞1， 所以ba＞b0＝1，所以y＝bax＝(ba)x应为增函数．
在选项(C)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，0＜b＜1，
所以ba＜b0＝1，所以y＝bax＝(ba)x应为减函数．与图形提供的信息相符． 在选项(D)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，0＜b＜1，
所以ba＞b0＝1，所以y＝bax＝(ba)x应为增函数．综上，选C．
(2)如图，作直线y＝1与函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象
依次交于A，B，C，D四点，则A，B，C，D四点的横坐标分别为a，b，c，d， 显然，c＜d＜a＜b．
【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用． 这里，对基本初等函数图象的熟悉是前提，对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例4中“注意到f(0)＝1”，例5中“作直线y＝1”就是具体的表现，
没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线y＝1”．
例6 已知幂函数f(x)?x31?k?k222(k?Z)．
(1)若f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(0，＋∞)上是减函数，求k的取值范围． 解：(1)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以因为k∈Z，所以k＝0，1，2，
又因为f(x)为偶函数，所以k＝1，f(x)＝x2． (2)因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以解得k＜－1，或k＞3(k∈Z)．
例7 比较下列各小题中各数的大小 (1)log20.6,0,log0.6331?k?k2?0，解得－1＜k＜3， 2231?k?k2?0， 221；(2)lg2与lg(x2－x＋3)；(3)0.50.2与0.20.5； 21121－－
(4)2与3；(5)()3,,log1；(6)am＋am与an＋an(a＞0，a≠1，m＞n＞0)
2323【分析】(1)函数y＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以log20.6＜log21＝0， 函数y＝log0.6x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以log0.6所以log20.6?0?log0.621?log0.61?0 21. 22(2)由于x?x?3?(x?)?1211?2，所以lg2＜lg(x2－x＋3)． 4(3)利用幂函数和指数函数单调性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5． (4)因为(2)6?8,(33)6?9.根据不等式的性质有2?33.
1818312,所以()3?(),即()3?; (5)因为?227227232比较与log32，只需比较log333与log32，
3因为y＝log3x是增函数，所以只需比较3与2的大小， 因为(3)?9?8?23，所以3?2，所以
233232311122?log32， 312综上，()3??log32.
23(6)a?am?m1?(an?a?n)?amnm?n(a?a)(a?1)， m?n1当a＞1时，因为m＞n＞0，am＞an，amn＞1，所以am＋am＞an＋an；
＋－－
当0＜a＜1时，因为m＞n＞0，am＜an，amn＜1，所以am＋am＞an＋an．
－－
综上，am＋am＞an＋an．
例8 已知a＞2，b＞2，比较a＋b，ab的大小． 【分析】方法一(作商比较法)
＋
－
－
a?b111111a?b??，又a＞2，b＞2，所以?,?，所以?1，所以a＋b＜ab． ababa2b2ab方法二(作差比较法)
a?b?ab?111(2a?2b?2ab)?[(2a?ab)?(2b?ab)]?[a(2?b)?b(2?a)]， 222因为a＞2，b＞2，所以2－a＜0，2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab．
方法三(构造函数)
令y＝f(a)＝a＋b－ab＝(1－b)a＋b，将y看作是关于a的一次函数， 因为1－b＜0，所以此函数为减函数，又a∈(2，＋∞)，
y最大＜f(2)＝(1－b)32＋b＝2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab． 【评析】两个数比较大小的基本思路：
如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法”，如例8的方法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例7(1)(2)(3)，例8的方法三)．
如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较(如例7(4)(5)(6))．
例9 若log2(x－1)＜2，则x的取值范围是______． 解：log2(x－1)＜2，即log2(x－1)＜log24，
根据函数y＝log2x的单调性，可得x－1＜4，所以x＜5， 结合x－1＞0，所以x的取值范围是1＜x＜5．
例10 已知A，B为函数y＝log8x的图象上两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点．
(1)如果A，B两点的连线经过原点O，请问C，D，O三点也共线么?证明你的结论． (2)当A，B，O三点共线并且BC与x轴平行时，求A点的坐标． 略解：(1)设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，
log8x1log8x2x1?x2?①.
log8x1logx, 又设C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)，于是有kOC?x21?x1log821log2x1log8x2同样可得kOD?x1?x2log82,
由于A，B，O在同一条直线上，所以
结合①式，有kOC＝kOD，即C，D，O三点共线．
(2)当BC∥x轴时，即log8x2?log2x1?log8x1,于是x2?x1. 代入①式中可得x1?3，于是A(3,log83).
练习2－3
一、选择题
1．已知集合M＝{－1，1}，N?{x?Z|331?2x?1?4}，则M∩N＝( ) 2(A){－1，1} (B){－1} (C){0} (D){－1，0}
2．设??{?1,1,,3}，则使函数y＝x??的定义域为R且为奇函数的所有??的值为( ) (A)1，3 (B)－1，1 (C)－1，3 (D)－1，1，3 3．已知0＜a＜1，logam＜logan＜0，则( ) (A)1＜n＜m (B)1＜m＜n (C)m＜n＜1 (D)n＜m＜1 4．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0＜a＜3)，若x1＜x2，x1＋x2＝1－a，则( ) (A)f(x1)＞f(x2) (B)f(x1)＜f(x2) (C)f(x1)＝f(x2) (D)f(x1)与f(x2)的大小不能确定 二、填空题 5．
12log89的值是______． log236．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(a,a)，则f(x)＝______．
?ex,x?0.17．设g(x)??则g(g())＝______．
2?lnx,x?0.8．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)2f(x2)；②f(x12x2)＝f(x1)＋f(x2)； ③
x?xf(x1)?f(x2)f(x1)?f(x2)? ?0；④f(12)?22x1?x2当f(x)＝lgx时，上述结论中正确结论的序号是______．
三、解答题
9．计算下列各式的值： (1)[(?2)]?(?1)0；
11162
(2)102?lg52；
127210?3?2(3)(2)?(2)?0.1；
927(4)log535?2log2?log57?5log53.
10．二次函数f(x)的顶点是P(4，3)，图象交x轴于A，B两点，且三角形PAB的面积为6，
求f(x)的解析式．
11．已知函数f(x)是函数g(x)＝ax的反函数，且(－1，2)在y＝g(x)的图象上．
(1)求f(x)的表达式；
(2)若｜f(m)｜＝｜f(4)｜(m＞0)，求m的值．