(A)0 (B)0或
3 2(C)?3 (D)3
二、填空题
5．给定映射f：(x，y)→(x＋2y，x－2y)，在映射f下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是______． 6．函数f(x)?3?x的定义域是______． |x|?2x f(x) 1 1 2 3 3 1
x g(x) 1 3 2 2 3 1 7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出 则f[g(1)]的值为______；满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值是______．
8．已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于点(0，1)对称，则f(x)的解析式为______． 三、解答题
2?x(x?0),9．已知f(x)＝2x＋x－1，g(x)??求g(－1)，g[f(1)]的值．
?x?1(x?0),
10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程为y＝ax2＋c(a＜
0)，D＝(6，7)为x轴上的给定区间．为使物体落在区间D内，求a的取值范围．
11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三
角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并求出y的最大值．
§2－2 函数的性质
【知识要点】
函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．
本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．
1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．
由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点P?(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点P?关于原点对称，我们可以得到：
奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．
2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量?x＝x2－x1＞0，则
当?y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数； 当?y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．
3．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．
4．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 【复习要求】
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；
2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性． 3．了解函数周期性的含义．
4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题． 【例题分析】
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)?x; x?1
(2)f(x)?(4)y?lg1?1; x(3)f(x)＝x3－3x；
1?x; 1?x2x?1? (5)y?x2?1解：(1)解
x?0，得到函数的定义域为{x｜x＞1或x≤0}，定义域区间关于原点不x?1对称，所以此函数为非奇非偶函数．
(2)函数的定义域为{x｜x≠0}，但是，由于f(1)＝2，f(－1)＝0，即f(1)≠f(－1)，且f(1)≠－f(－1)，所以此函数为非奇非偶函数．
(3)函数的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－f(x)， 所以此函数为奇函数．
(4)解
1?x?0，得－1＜x＜1， 1?x又f(?x)?lg1?(?x)1?x1?x?lg??lg??f(x),
1?(?x)1?x1?x所以此函数为奇函数．
2?x?11?2x???f(x)， (5)函数的定义域为R，又f(?x)??xx1?22?1所以此函数为奇函数．
【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：
①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称； ②f(x)是奇函数，并且f(x)在x＝0时有定义，则必有f(0)＝0； ③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f(x)＝0． 判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤： ①判断函数的定义域是否关于原点对称； ②考察f(－x)与f(x)的关系．
由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．
例2 设函数f(x)在R上有定义，给出下列函数：
①y＝－｜f(x)｜；②y＝xf(x2)；③y＝－f(－x)；④y＝f(x)－f(－x)． 其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号) 【分析】①令F(x)＝－｜f(x)｜，则F(－x)＝－｜f(－x)｜，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．
②令F(x)＝xf(x2)，则F(－x)＝－xf[(－x)2]＝－xf(x2)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数． ③令F(x)＝－f(－x)，则F(－x)＝－f[－(－x)]＝－f(x)，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．
④令F(x)＝f(x)－f(－x)，则F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．
所以，②④为奇函数．
例3 设函数f(x)在R上有定义，f(x)的值不恒为零，对于任意的x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则函数f(x)的奇偶性为______．
解：令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，
再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x)的值不恒为零， 故f(x)是奇函数而非偶函数．
【评析】关于函数方程“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”的使用一般有以下两个思路：令x，y为某些特殊的值，如本题解法中，令x＝y＝0得到了f(0)＝0．当然，如果令x＝y＝1则可以得到
f(2)＝2f(1)，等等．
令x，y具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y＝－x．得到f(2x)＝2f(x)，在某些情况下也可令y＝
1，y＝x，等等． x总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气．
例4 已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，求b的值，并比较f(－1)与f(4)的大小．
解：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以x＝1为二次函数图象的对称轴，
所以?b?1，b＝－2． 2根据对称性，f(－1)＝f(3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以f(3)＜f(4)，即f(－1)＜f(4)．
例5 已知f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x， (1)求f(－1)的值；
(2)当x＜0时，求f(x)的解析式．
解：(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(12－231)＝1．
(2)方法一：当x＜0时，－x＞0．所以，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x． 方法二：设(x，y)是f(x)在x＜0时图象上一点，则(－x，－y)一定在f(x)在x＞0时的图象上．所以，－y＝(－x)2－2(－x)，所以y＝－x2－2x．
例6 用函数单调性定义证明，函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间(?数．
证明：设x1、x2?(?b,??)上为增函2ab,??)，且x1＜x2 2af(x2)－f(x1)＝(ax22＋bx2＋c)－(ax12＋bx1＋c)＝a(x22－x12)＋b(x2－x1) ＝a(x2＋x1)(x2－x1)＋b(x2－x1)＝(x2－x1)[a(x1＋x2)＋b] 因为x1＜x2，所以x2－x1＞0，又因为x1、x2?(?b,??)， 2a所以x1?x2??,a(x1?x2)?b?0，所以f(x2)－f(x1)＞0， 函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间(?bab,??)上为增函数． 2a例7 已知函数f(x)是定义域为R的单调增函数． (1)比较f(a2＋2)与f(2a)的大小；
(2)若f(a2)＞f(a＋6)，求实数a的取值范围．
解：(1)因为a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞0，所以a2＋2＞2a， 由已知，f(x)是单调增函数，所以f(a2＋2)＞f(2a)．
(2)因为f(x)是单调增函数，且f(a2)＞f(a＋6)，所以a2＞a＋6， 解得a＞3或a＜－2．
【评析】回顾单调增函数的定义，在x1，x2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：?x＝x2－x1的符号；?y＝f(x2)－f(x1)的符号；函数y＝f(x)在区间上是增还是减．
由定义可知：对于任取的x1，x2，若x2＞x1，且f(x2)＞f(x1)，则函数y＝f(x)在区间上是增函数；
不仅如此，若x2＞x1，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则f(x2)＞f(x1)； 若f(x2)＞f(x1)，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则x2＞x1；
于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系．请结合例5例6体会这一点．
函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意．
例8 设f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是减函数．
(1)试比较f(－2)与－f(3)的大小；
(2)若mn＜0，且m＋n＜0，求证：f(m)＋f(n)＞0． 解：(1)因为f(x)是奇函数，所以－f(3)＝f(－3)，
又f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，所以f(－3)＞f(－2)，即－f(3)＞f(－2)． (2)因为mn＜0，所以m，n异号，不妨设m＞0，n＜0， 因为m＋n＜0，所以n＜－m，
因为n，－m∈(－∞，0)，n＜－m，f(x)在区间(－∞，0)上是减函数， 所以f(n)＞f(－m)，
因为f(x)是奇函数，所以f(－m)＝－f(m)， 所以f(n)＞－f(m)，即f(m)＋f(n)＞0．
例9 函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)＝x2，x∈[－1，1]． (1)求f(7.5)的值；
(2)求f(x)在区间[2n－1，2n＋1]上的解析式．
解：(1)因为函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(x＋2k)＝f(x)，k∈Z．
所以f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)＝
1． 4(2)设x∈[2n－1，2n＋1]，则x－2n∈[－1，1]． 所以f(x)＝f(x－2n)＝(x－2n)2，x∈[2n－1，2n＋1]．
练习2－2
一、选择题
1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( ) (A)y＝x2－4x
(B)y＝｜x｜
(C)y?1 x(D)y＝x2＋2x
2．下列判断正确的是( )
(A)定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，且f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数 (B)定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数
(C)定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f(x)在R上是减函数
(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数 3．已知函数f(x)是R上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f(1)＝2．则f(2)＝( ) (A)－2 (B)2 (C)1 (D)－1 4．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) (A)f(x)f(－x)是奇函数 (B)f(x)｜f(－x)｜是奇函数 (C)f(x)－f(－x)是偶函数 (D)f(x)＋f(－x)是偶函数 二、填空题
5．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)是增函数，则m的取值范围是______；f(1)