§2－4 函数的图象
在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗．因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要方法． 【知识要点】
作函数图象最基本的方法是列表描点作图法． 常用的函数图象变换有： 1．平移变换
y＝f(x＋a)：将y＝f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移｜a｜个单位可得． y＝f(x)＋a：将y＝f(x)的图象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移｜a｜个单位可得． 2．对称变换
y＝－f(x)：作y＝f(x)关于x轴的对称图形可得． y＝f(－x)：作y＝f(x)关于y轴的对称图形可得． 3．翻折变换
y＝｜f(x)｜：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变即得．
y＝f(｜x｜)：此偶函数的图象关于y轴对称，且当x≥0时图象与y＝f(x)的图象重合． 【复习要求】
1．能够在对函数性质作一定的讨论之后，用描点法作出函数的图象．
2．能够对已知函数y＝f(x)的图象，经过适当的图象变换得到预期函数的图象．
3．通过读图能够分析出图形语言所表达的相关信息(包括函数性质及实际意义)，运用数形结合的思想解决一些与函数有关的问题． 【例题分析】
例1 做出下列函数的图象：
＋
(1)y＝log2(x＋1)；(2)y＝2x1－1．
答：(1)将y＝logx的图象左移1个单位，得到函数y＝log(x＋1)的图象；
＋＋
(2)将y＝2x的图象左移1个单位，得到函数y＝2x1的图象，再将y＝2x1的图象向下平
＋
移一个单位得到函数y＝2x1－1的图象．
例2 作函数y?1的图象．
|x|?1【分析】方法一(描点法) 分析函数的性质，得 定义域：x≠±1；
当｜x｜＞1时，y＞0；
当0≤｜x｜＜1时，－1≤｜x｜－1＜0，所以y≤－1． 与坐标轴的交点：(0，－1)；
对称性：偶函数，关于y轴对称； 单调性：当x＞1时，y?1是减函数； x?1用同样的方法可得[0，1)为函数的减区间；(－∞，－1)，(－1，0)为函数的增区间．结合上面的分析，经过简单的描点作图可得如右图所示的函数图象．
方法二(函数图象变换法)
先作函数y?111的图象，再作y?的图象，再作y?的图象．如下图：
x?1x|x|?1
【评析】作函数图象之前，先对函数的性质作些研究是必要的，它可以简化作图过程．比如在明确本题函数为偶函数之后，就只需做出y?1(x?0,x??1)的图象了． x?1函数图象是函数规律的直接表现，函数性质对函数规律进行了理论上的刻画，两者之间是具体与抽象的两方面，它们相互支撑，是学习、研究函数的两个入手点．
对于方法二，有些学生用这种方法易出现的错误是：先作函数y?1的图象，再作xy?11的图象，再作y?的图象． |x||x|?1在这个过程中，由y?11变到y?时，误以为应遵循y＝f(x)变化到y＝f(x－1)|x||x|?1的规律．事实上，若f(x)?111?，则f(x?1)?，直接变换得不到要得的?|x?1||x|?1|x|函数图象．
例3 若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图象一定不过 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
x
【分析】将y＝a(a＞1)图象向下平移｜b｜个单位(0＜｜b｜＜1)，依图象可知函数y＝ax＋b的图象一定不过第四象限．选D．
例4 已知f(x)＝｜2x－1｜，且a＜b＜c＜0，则f(a)、f(b)、f(c)的大小关系为______． 【分析】先画y＝2x的图象；然后将图象下移一个单位得到y＝2x－1的图象；最后将x轴下方的图象对称翻折到x轴上方，原x轴上方的图象不变，就得到了f(x)＝｜2x－1｜的图象．
函数f(x)的图象如图所示．
所以f(x)在(－∞，0]是减函数， 所以，a＜b＜c＜0 所以f(a)＞f(b)＞f(c)．
例5 函数y＝－xcosx的部分图象是( )
【分析】对于函数f(x)＝－xcosx，x∈R，
f(－x)＝－(－x)cos(－x)＝xcosx＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数，否定(A)(C)选项．
又，当x?(0,)时，f(x)＜0，
所以f(x)在原点右侧附近时值为负，否定(B)选项．于是选(D)．
例6 已知函数f(x)是定义在(－3，3)上的偶函数，当0≤x＜3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式解集是______．
π2
【分析】根据偶函数图象关于y轴对称，补全函数f(x)在(－3，3)上的图象．
解不等式f(x)≤0，就是“找到”使得f(x)≤0的所有的x，就是在函数y＝f(x)的图象上找到使得纵坐标小于或等于零的所有自变量．
根据补全的f(x)图象，识图可得不等式f(x)≤0解集为{x｜－3＜x≤－1或1≤x＜3}． 思考：如果问“不等式xf(x)＜0解集是______．”该怎样利用已知函数的图象呢? 答：{x｜－1＜x＜0或1＜x＜3}．
例7 在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示出的图象如图所示，给出下列说法：
①前5分钟温度增加的速度越来越快； ②前5分钟温度增加的速度越来越慢； ③5分钟后温度保持匀速增加；
④5分钟后温度保持不变． 其中说法正确的是______．
【分析】5分钟后温度保持不变，这一点通过图象易于判断． 前5分钟的情况，通过图象可以看到每分钟的变化率越来越小，于是变化速度是越来越慢的．所以②④正确．
例8 已知函数f(x)?对称图形．
证明：设P(x0，y0)是函数y?f(x)?2x?1(x??1)，求证：函数y＝f(x)的图象关于点(1，2)成中心x?12x?12x?1(x?则y0?0 ?1)的图象上任意一点，x?1x0?1(x0??1)，设P(x0，y0)关于(1，2)的对称点为Q(x1，y1)， ?x0?x1?x1?2?x0,?2?1,根据中点坐标公式得? 解得??y1?4?y0,?y0?y1?2,?2以下只需证明Q(x1，y1)也在函数y＝f(x)的图象上． 因为f(x1)?2x1?12(2?x0)?13?2x0??,
1?xx1?1(2?x0)?102x0?12x0?3?,所以y1＝f(x1)，即Q(x1，y1)在函数y＝f(x)的图
x0?1x0?1而y1?4?y0?4?象上．所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，2)成中心对称图形．
练习2－4
一、选择题
1．将指数函数f(x)的图象向右平移一个单位，得到如图的g(x)的图象，则f(x)＝( )
(A)2x (C)()
x(B)3x (D)()
12
13x2．已知a＞0，a≠1，函数y＝ax，y＝loga(－x)的图象是下面的( )
3．已知f(x)＝｜log3x｜，则下列不等式成立的是( ) (A)f()?f(2)
12(B)f()?f(3)
13(C)f()?f()
1413(D)f(2)＞f(3)
ex?e?x4．函数y?x的图象大致为( ) ?xe?e
二、填空题
5．如下图据新华社2002年3月12 日电，1985年到2000年间，我国农村人均居住面积如图所示，其中，从______年到______年的五年间增长最快．
6．函数y＝lg(－x)＋1的图象是由y＝lgx的图象____________得到的．
?x?1,x??2,?7．在函数f(x)＝lg(1＋x2)，g(x)?x，h(x)??0,?2?x?2,中，图象关于y轴对称的是
??x?1,x?2,?12______． 8．已知函数f(x)???(3a?2)x?6a?1x?1?axx?1在(－∞，＋∞)上单调递减，那么实数a的取