f(n?1)3n?2?3n?3?3(3n?3)3f(n)?3n?5·??3n?2???(3n?5)(3n?2)2。 因(3n?3)2?(3n?5)(3n?2)2?9n?7＞0，故
f(n?1)＞f(n). 特别的f(n)?f(1)?2720＞1。从而3Tn?1?log(an?3)?logf(n)＞0， 即3Tn?1＞log2(an?3)。 证法二：同证法一求得bn及Tn。 由二项式定理知当c＞0时，不等式
(1?c)3＞1?3c成立。 由此不等式有 3333T?1??n?1?log22??1?2????1?1?5??????1?1?3n?1?? ＞log2?3??3?2??1?2????1?5??????1?3?3n?1?? ＝log22·5·83n?224·?·3n?1?log2(3n?2)?log2(an?3)。 证法三：同证法一求得bn及Tn。 令An＝3·6·?·3n3n，Bn＝34·76·?·3n?13n，Cn＝54·87·?·3n?2253n?1。 因3n3n?1＞3n?13n＞3n?23n?1，因此A3B3n?2n＞AnnCn?2。 从而
33T?263n?3n?1?log22??3·5·?·3n?1???log22Ax ＞log22AnBnCn?log2(3n?2)?log2(an?3)。
浙江理21 已知数列?an?中的相邻两项a2k?1，a2k是关于x的方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0的两个根，且a2k?1≤a2k(k?1，2，3，?)． （I）求a1，a2，a3，a7； （II）求数列?an?的前2n项和S2n；
大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 ?1?sinn?3?， （Ⅲ）记f(n)??2?sinn?(?1)f(2)(?1)f(3)(?1)f(4)(?1)f(n?1)， Tn????…?a1a2a3a4a5a6a2n?1a2n15求证：≤Tn≤(n?N*)．
624本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分． （I）解：方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0的两个根为x1?3k，x2?2k， 当k?1时，x1?3，x2?2， 所以a1?2； 当k?2时，x1?6，x2?4， 所以a3?4； 当k?3时，x1?9，x2?8， 所以a5?8时；
当k?4时，x1?12，x2?16， 所以a7?12．
（II）解：S2n?a1?a2???a2n ?(3?6???3n)?(2?22???2n) ?3n2?3n2?2n?1?2． 111(?1)f(n?1)（III）证明：Tn?aa?????， 12a3a4a5a6a2n?1a2n所以T11?a?16， 1a2T12?a?15a?． 1a2a3424当n≥3时，
111(?1)f(n?1)Tn?6?a????， 3a4a5a6a2n?1a2n大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 ≥16?1a???1???1?? 3a4?a5a6a2n?1a2n?≥16?16?22?1?16??23???1?2n?? ?16?16?2n?16， T511(?1)f(n?1)同时，n?24?aa?a??? 56a78a2n?1a2n≤524?1a???1???1?? 5a6?a1a2a2n?1a2n?≤524?19?23?1?19??21???1?2n?? ?524?159?2n?24． 综上，当n?N*时，156≤Tn≤24．
浙江文19
已知数列{a2n}中的相邻两项a2k?1、a2k是关于x的方程x?(3k?2k)x?3k?2k?0 的两个根，且a2k?1≤a2k (k ＝1，2，3，?)． (I)求a1,a3,a5,a7及a2n (n≥4)(不必证明)； (Ⅱ)求数列{an}的前2n项和S2n．
本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分14分． (I)解：方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0的两个根为x1?3k, x2?2k． 当k＝1时，x1?3,x2?2，所以a1?2； 当k＝2时，x1?6,x2?4，所以a3?4； 当k＝3时，x1?9,x2?8，所以a5?8； 当k＝4时，x1?12,x2?16，所以a7?12； 因为n≥4时，2n?3n，所以a2n?2n (n?4) （Ⅱ）S3n2?3nn2n?a1?a2???a2n?(3?6???3n)?(2?22???2n)＝2?2?1?2．
大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 天津理21
在数列?a?1n?中，a1?2，an?1??an??n?(2??)2n(n?N?)，其中??0． （Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）求数列?an?的前n项和Sn； （Ⅲ）证明存在k?N?，使得an?1a≤ak?1对任意n?N?均成立． nak本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解法一：a2?2???2?(2??)2??2?22，
a23??(?2?22)??3?(2??)2?2?3?23， a4??(2?3?23)??4?(2??)23?3?4?24．
由此可猜想出数列?an?的通项公式为an?(n?1)?n?2n． 以下用数学归纳法证明． （1）当n?1时，a1?2，等式成立． （2）假设当n?k时等式成立，即ak?(k?1)?k?2k，
那么a?1k?1??a1??k?(2??)2k??(k?1)?k??2k??k?1?2k?1??2k
?[(k?1)?1]?k?1?2k?1．
这就是说，当n?k?1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式an?(n?1)?n?2n对任何n?N?都成立． 解法二：由a?1n?1??an??n?(2??)2n(n?N?)，??0，
1可得a?2?n?n?1?n?1???????a?2?nn?n???????1， 所以???ann?2??a2?nn??????????n??为等差数列，其公差为1，首项为0，故???????n?1，所以数列?an?n???的通项公式为ann?(n?1)??2n． （Ⅱ）解：设Tn??2?2?3?3?4???(n?2)?n?1?(n?1)?n， ①
?T4n??3?2??3?5???(n?2)?n?(n?1)?n?1 ②
大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 当??1时，①式减去②式， n?1得(1??)Tn?1n??2??3????n?(n?1)???2?????(n?1)?n?11， ?2??n?1(n?1)?n?1(n?1)?n?2T?n?n?1??2n?(1??)2?1???(1??)2． 这时数列?a?的前n项和S(n?1)?n?2?n?n?1??2n?1nn?(1??)2?2?2． 当??1时，T(n?1)2．这时数列?a?n(n?1)?1n?nn?的前n项和Sn2?2n?2． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列??an?1??a?的第一项a2n?a最大，下面证明：
1an?1a2?2a???4,n≥2． ③ na12由??0知an?0，要使③式成立，只要2a2n?1?(??4)an(n≥2)， 因为(?2?4)an?(?2?4)(n?1)?n?(?2?1)2n ?4?·(n?1)?n?4?2n?4(n?1)?n?1?2n?2
≥2n?n?1?2n?2?2an?1，n≥2． 所以③式成立． 因此，存在k?1，使得an?1a≤ak?1?a2对任意n?N?均成立． naka1 天津文20 在数列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，n?N*． （Ⅰ）证明数列?an?n?是等比数列； （Ⅱ）求数列?an?的前n项和Sn；
（Ⅲ）证明不等式Sn?1≤4Sn，对任意n?N*皆成立．
本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设an?1?4an?3n?1，得
an?1?(n?1)?4(an?n)，n?N*． 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料