也就是说，当n?k?1时，结论成立． 2，3，…． 根据（ⅰ）和（ⅱ）知2?bn≤a4n?3，n?1， 全国1文21 设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1?b1?1，a3?b5?21，a5?b3?13
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列??an??b?的前n项和Sn．
n?解：（Ⅰ）设?ab??1?2d?q4?21，n?的公差为d，?n?的公比为q，则依题意有q?0且???1?4d?q2?13，解得d?2，q?2． 所以an?1?(n?1)d?2n?1，
bn?1n?1n?q?2． （Ⅱ）anb?2n?12n?1． nS3n?1?21?522???2n?32n?12n?2?2n?1，① 2Sn?2?3?52???2n?32n?12n?3?2n?2，② ②－①得S2?2222n?1n?2?2?22???2n?2?2n?1，
?2?2????1?12?11?2n?122???2n?2???2n?1
1?1?2?2?2n?1?2n?11?12n?1 2?6?2n?32n?1． 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 辽宁理21
已知数列{an}，{bn}与函数f(x)，g(x)，x?R满足条件：
an?bn，f(bn)?g(bn?1)(n?N*). （I）若f(x)≥tx?1，t?0，t?2，g(x)?2x，f(b)?g(b)，liman存在，求x的取值范n??围；
b?1，f(1)?1，（II）若函数y?f(x)为R上的增函数，证明对任意n?N*，g(x)?f?1(x)，limn??an（用t表示）．
江西理22 11设正整数数列?a4，且对于任何n?N*，有2?1a?a?nan?1?2?1n?满足：a2?a．n?11?1nnn?1（1）求a1，a3；
（3）求数列?an?的通项an． 解：（1）据条件得2?1a?n(n?1)??1a?1???2?1 ① n?1?nan?1?an当n?1时，由2?1a?2??1?1???2?1，即有2?12212?a1a2?a14?a??2?， 14a1解得23?a81?7．因为a1为正整数，故a1?1． 当n?2时，由2?1a?6??1?1???2?1， 3?4a3?4解得8?a3?10，所以a3?9．
（2）方法一：由a1?1，a2?4，a3?9，猜想：an?n2． 下面用数学归纳法证明．
1?当n?1，2时，由（1）知an?n2均成立； 2?假设n?k(k≥2)成立，则a2k?k，则n?k?1时 由①得2?1a?k(k?1)??11?12???2?2 k?1?kak?1?k大毛毛虫★倾情搜集★精品资料
?k2(k?1)k(k2?k?1)k2?k?1?ak?1?k?1 ?(k?1)2?(k?1)21k2?1?ak?1?(k?1)2?k?1 因为k≥2时，(k2?1)?(k?1)2?k(k?1)(k?2)≥0，所以(k?1)2k2?1??0，1?． k?1≥1，所以1k?1??0，1?． 又a2k?1?N*，所以(k?1)≤ak?1≤(k?1)2． 故ak?1?(k?1)2，即n?k?1时，an?n2成立． 由1?，2?知，对任意n?N*，an?n2． （2）方法二：
由a1?1，a2?4，a3?9，猜想：a2n?n． 下面用数学归纳法证明． 1?当n?1，2时，由（1）知an?n2均成立； 2?假设n?k(k≥2)成立，则ak?k2，则n?k?1时 由①得2?1?11?1a?k(k?1)?2???2?2 k?1?kak?1?k即2?1k?1k(k?a??1)?2?12 ② k?1kak?1k由②左式，得k?1k2?k?1k?a，即(k?1)a3k?1?k?k2?k，因为两端为整数， k?1则(k?1)ak?1≤k3?k2?k?1?(k?1)2(k?1)．于是ak?1≤(k?1)2 ③ 又由②右式，k(k?1)2k2?1?k(k?1)k2?k?1a??2． k?1k2k则(k2?k?1)ak?1?k3(k?1)．
因为两端为正整数，则(k2?k?1)a4k?1≥k?k3?1， 所以ak4?k3?1k?1≥k2?k?1?(k?1)2?kk2?k?1．
又因k≥2时，ak?1为正整数，则a2k?1≥(k?1) ④ 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 据③④ak?1?(k?1)2，即n?k?1时，an?n2成立． 由1?，2?知，对任意n?N*，a2n?n． 江西文21 设?an?为等比数列，a1?1，a2?3． （1）求最小的自然数n，使an≥2007； （2）求和：T1a?2?32n????2n． 1a2a3a2nn?1解：（1）由已知条件得a??a2?n?1??a??3n?1， 1?因为36?2007?37，所以，使an≥2007成立的最小自然数n?8．
（2）因为T12342n2n?1?3?32?33???32n?1，????①
13T12342n?12n2n?3?32?33?34???32n?1?32n，????② ①?②得：43T?11112n2n?13?32?33???32n?1?32n
1?1?32n?2n1?132n 3?3?32n?3?8n4?32n 所以T32n?2?9?24n2n?16?32n． 江苏理20
已知 {an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1?b1,a2?b2?a1，记Sn为数列{bn}的前n项和，
（1）若bk?am(m,k是大于2的正整数)，求证：Sk?1?(m?1)a1；（4分）
（2）若b3?ai(i是某一正整数)，求证：q是整数，且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项；（8分） 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 （3）是否存在这样的正数q，使等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）
解：设{an}的公差为d，由a1?b1,a2?b2?a1，知d?0,q?1，d?a1?q?1?（a1?0） （1）因为bk?am，所以a1qk?1?a1??m?1?a1?q?1?，
qk?1?1??m?1??q?1??2?m??m?1?q， 所以Sk?1?a1?1?qk?1?1?m?1??m?1?q?1?q?aq??m?1?a1
（2）b3?a1q2,ai?a1??i?1?a1?q?1?，由b3?ai， 所以q2?1??i?1??q?1?,q2??i?1?q??i?2??0,解得，q?1或q?i?2，但q?1，所以q?i?2，因为i是正整数，所以i?2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意一项为 b?1n?a1qn?n?N??，设数列{an}中的某一项am?m?N??=a1??m?1?a1?q?1?
现在只要证明存在正整数m，使得bn?am，即在方程a?11qn?a1??m?1?a1?q?1?中m有1正整数解即可，qn?1?1??m?1??q?1?,m?1?qn??1q?1?1?q?q2??qn?2，所以
m?2?q?q2??qn?2，若i?1，则q??1，那么b2n?1?b1?a1,b2n?b2?a2，当i?3时，因为a1?b1,a2?b2，只要考虑n?3的情况，因为b3?ai，所以i?3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{bn}中任意一项为 b1n?a1qn??n?N??与数列{an}的第2?q?q2??qn?2项相等，从而结论成立。
（3）设数列{bn}中有三项bm,bn,bp?m?n?p,m,n,p?N??成等差数列，则有 2a11qn??am?11q?a1qp?1,设n?m?x,p?n?y,?x,y?N??，所以2?1qx?qy，令x?1,y?，则2q3?2q?1?0,?q?1??q2?q?1??0，因为q?1，所以q2?q?1?0，所以q?5?12?舍去负值?，即存在q?5?12使得{bn}中有三项bm,bm?1,bm?3?m?N??成等差数列。 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料