an?1an?2an?2bn?1??q，∴ an?2?anq2(n?N*)． 解法1：（I）证：由?q，有bnanan?1an（II）证：?an?qn?2q2， ?a2n?1?a2n?3q2???a1q2n?2，a2n?a2n?2q2???a2qn?2， ?cn?a2n?1?2a2n?a1q2n?2?2a2q2n?2?(a1?2a22)q2n??5q2n?2．
??cn?是首项为5，以q2为公比的等比数列． （III）由（II）得112?2na?aq，1?1?2n2n2q2，于是 2n?11aa111?a??????1a?1???1?????1?1???1?? 1a2a2n?1a3a2n?1??a2a4a2n? ?1?111?1?a?1?q2?q4???q2n?2???a?1?12?14???1?2n?2?1?2?qqq?
?3?111?2??1?q2?q1???q2n?2??． 当q?1时，1a?1???1?3??1?111?2?4???2n?2?? 1a2a2n2?qqq
?32n． 当q?1时，11a????1?3??1?11qq???1?2?4q2n?2?? 1a2a2n2?
3?1?q?2n??2??1?q?2??
?3?2?q2n?1??q2n?2(q2?1)??． ??3故12n，a?1???1?? q?1，???2n 1a2a2n???q?1?q2n?2(q2?1)?，q?1.????解法2：（I）同解法1（I）． （II）证：
大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 cn?1?a2n?1?2a2n?2?q2a2n?1?2q2a2n?q2(n?N*c)，又c1?a1?2a2?5， na2n?1?2a2na2n?1?2a2n??cn?是首项为5，以q2为公比的等比数列． （III）由（II）的类似方法得a2n?22n?1?a?22n?(a1?a2)q2n?3q，
1?1a???1?a1?a2?a3?a4???a2n?1?a2na， 12a2na1a2a3a4a2n?1a2n?a2k?1?a2k3q2k?23?2ka??22q4k?4?2q，k?1，2，?，n． 2k?1a2k?1a?1???1?3(1?q?2???q?2n?2)． 1a2a2k2下同解法1．
广东理21 已知函数f(x)?x2?x?1，?,?是方程f(x)=0的两个根(???)，f'(x)是f(x)的导数；设a1?1，af(an)n?1?an?f'(a)（n=1,2,??） n （1）求?,?的值； （2）证明：对任意的正整数n，都有an>a； （3）记b??n?lnana项和Sn。 n?a（n=1,2,??），求数列{bn}的前n解析：（1）∵f(x)?x2?x?1，?,?是方程f(x)=0的两个根(???)， ∴???1?52,???1?52； 21 （2）a15f'(x)?2x?1，an?1?aan?an?1n(2an?1)?n?4(2an?1)?42a?1?an?2
n2an?15=1(2a14n?1)?42a?，∵a1?1，∴有基本不等式可知a5?15?2?n?122?0（当且仅当a11?2时取等号），∴a5?15?12?2?0同，样a3?2，??，a5?1n?2??（n=1,2,??）， （3）a(an??)(an??)n?1???an???2a1?an??2a1(an?1??)，而?????1，即??1???， n?n?大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 (an??)2an?1???2an?1(an??)2，同理an?1???2an?1，bn?1?2bn，又b1?ln1??3?53?5?ln?2ln1??23?5 Sn?2(2n?1)ln3?5 2
广东文20 已知函数f(x)?x2?x?1，?、?是方程f(x)?0的两个根(???)，f?(x)是的导数 设af(an)1?1，an?1?an?f?(a，(n?1,2,?). n)(1)求?、?的值； (2)已知对任意的正整数n有aan??n??,记bn?lna?,(n?1,2,?).求数列{bn}的 n?前n项和Sn． (1) 由 x2?x?1?0 得x??1?52 ????1?52 ???1?52 (2) f??x??2x?1 aa2?1a2n?ann?1n?1?an?2a?2a n?1n?1a2n?11?a?5a2??3?5n?1??2an?12n?1?5an?a?1?22n?1??an? 2a?1?5a25?a3?5n?1?n?n?12?2?2 ??a1?5??n???an???22???a1?5?????n?2??an???? ? b又 ba??3?5n?1?2bn 1?ln1a?ln?4l1?n5 1??3?52?数列?b5n?是一个首项为 4ln1?2,公比为2的等比数列; 4ln1?5? Sn?2?1?2n?1?2?4?2n?1?ln1?52 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 福建理21
等差数列{an}的前n项和为Sn，a1?1?2，S3?9?32． （Ⅰ）求数列{an}的通项an与前n项和Sn； （Ⅱ）设bSnn?n(n?N?)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分 解：（Ⅰ）由已知得???a1?2?1，a，?d?2， ??31?3d?9?32 故an?2n?1?2，Sn?n(n?2)． （Ⅱ）由（Ⅰ）得bSnn?n?n?2． 假设数列{b中存在三项bq，r互不相等）成等比数列，则b2n}p，bq，br（p，q?bpbr． 即(q?2)2?(p?2)(r?2)．
?(q2?pr)?(2q?p?r)2?0 ?p，q，r?N?， 2 ???q2?pr?0， ??p?r?2q?p?r?0，???2???pr，(p?r)2?0，?p?r． 与p?r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列． 福建文21
数列?an?的前n项和为Sn，a1?1，a*n?1?2Sn(n?N)． （Ⅰ）求数列?an?的通项an； （Ⅱ）求数列?nan?的前n项和Tn．
本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力．满分12分． 解：（Ⅰ）?an?1?2Sn，
?Sn?1?Sn?2Sn，
大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 ?Sn?1S?3． n又?S1?a1?1，
?数列?Sn?是首项为1，公比为3的等比数列，Sn?1n?3(n?N*)． 当n≥2时，an?2Sn?1?2?3n?2(n≥2)， ?a???1， n?1，n???3n?2，n≥2． （Ⅱ）Tn?a1?2a2?3a3???nan， 当n?1时，T1?1；
当n≥2时，Tn?1?4?30?6?31???2n?3n?2，????①
3T1n?3?4?3?6?32???2n?3n?1，?????????② ①?②得：?2Tn??2?4?2(31?32???3n?2)?2n?3n?1
3(1?3n?2?2?2?)?2n?3n?11?3 ??1?(1?2n)?3n?1．
?Tn?12????n?1?2??3n?1(n≥2)． 又?T1?a1?1也满足上式， ?Tn?12????n?1?2??3n?1(n?N*)． 北京理15，文科16 数列?an?中，a1?2，an?1?an?cn（c是常数，n?1，2，3，?），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列． （I）求c的值；
（II）求?an?的通项公式．
解：（I）a1?2，a2?2?c，a3?2?3c， 因为a1，a2，a3成等比数列， 所以(2?c)2?2(2?3c)， 解得c?0或c?2． 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料