又a1?1?1，所以数列?an?n?是首项为1，且公比为4的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知a?1n?n?4n，于是数列?an?的通项公式为
a?1n?4n?n． 所以数列?a4n?1n(n?1)n?的前n项和Sn?3?2． （Ⅲ）证明：对任意的n?N*， S4n?1?1(n?1)(n?2)?4n?1n(n?1)?n?1?4Sn?3?2?4??3?2?? ??12(3n2?n?4)≤0．
所以不等式Sn?1≤4Sn，对任意n?N*皆成立．
四川文22 已知函数（fx）=x2－4，设曲线y＝（fx）在点（xn，（fxn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,u）（u,N +），其中为正实数. （Ⅰ）用xx表示xn+1； （Ⅱ）若a1=4，记an=lgxn?2x，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式； n?2（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.
解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．
（Ⅰ）由题可得f'(x)?2x．
所以曲线y?f(x)在点(xn,f(xn))处的切线方程是：y?f(xn)?f'(xn)(x?xn)．
即y?(x2n?4)?2xn(x?xn)． 令y?0，得?(x2n?4)?2xn(xn?1?xn)． 即x2n?4?2xnxn?1． 显然xxnn?0，∴xn?1?2?2x． nxn2x2（Ⅱ）由xn2(xn?2)2(xn?2)n?1?2?x，知xn?1?2???2?2x，同理xn?1?2?．
n2xnn2xn大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 故xn?1?2xnx2?(?2x)2．
n?1?n?2从而lgxn?1?2x?22?2lgnxx，即an?1?2an．所以，数列{an}成等比数列． n?1?n?2故a?1x1?2n?2na?11?2nlgx2?2n?1lg3． 1?即lgxn?22?2n?1xlg3． n?从而xn?2x?32n?1
n?22n?1所以x?1)n?2(332n?1?1
（Ⅲ）由（Ⅱ）知x2(32n?1?1)n?32n?1?1，
∴b4n?xn?2?32n?1?1?0 2n?1∴bn?1b?3?111112n?2n?11?32n?1?321?1? n3?13?3当n?1时，显然T1?b1?2?3． 当n?1时，b111n?1n?3bn?1?(3)2bn?2???(3)b1 ∴Tn?b1?b2???bn ?b111?3b1???(3)n?1b1
b1?1[1?(3)n] 1?13?3?3?(13)n?3．
综上，Tn?3(n?N*)． 上海理20 若有穷数列a1,a2...an（n是正整数），满足a1?an,a2?an?1....an?a1即ai?an?i?1（i是正整大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 数，且1?i?n），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列?bn?是项数为7的对称数列，且b1,b2,b3,b4成等差数列，b1?2,b4?11，试写出?bn?的每一项
（2）已知?cn?是项数为2k?1?k?1?的对称数列，且ck,ck?1...c2k?1构成首项为50，公差为?4的等差数列，数列?cn?的前2k?1项和为S2k?1，则当k为何值时，S2k?1取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数m?1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1,2,22...2m?1成为数列中的连续项；当m?1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008 解：（1）设?bn?的公差为d，则b4?b1?3d?2?3d?11，解得 d?3， ?数列?bn?为2，，，5811，，，852． （2）S2k?1?c1?c2???ck?1?ck?ck?1???c2k?1 ?2(ck?ck?1???c2k?1)?ck， S2k?1??4(k?13)2?4?132?50， ?当k?13时，S2k?1取得最大值．
S2k?1的最大值为626． （3）所有可能的“对称数列”是： ① 1，，222，?，2m?2，2m?1，2m?2，?，22，，21； ② 1，，222，?，2m?2，2m?1，2m?1，2m?2，?，22，，21； ③ 2m?1，2m?2，?，22，，21，，222，?，2m?2，2m?1； ④ 2m?1，2m?2，?，22，，21，1，，222，?，2m?2，2m?1． 对于①，当m≥2008时，S2008?1?2?22???22007?22008?1． 当1500?m≤2007时，S2008?1?2???2m?2?2m?1?2m?2???22m?2009 ?2m?1?2m?1?22m?200?92m?2m?1?22m?200?91． 对于②，当m≥2008时，S2008?22008?1． 当1500?m≤2007时，Sm?12008?2?22m?2008?1． 对于③，当m≥2008时，Sm2008?2?2m?2008． 当1500?m≤2007时，S2008?2m?22009?m?3． 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 对于④，当m≥2008时，Sm2008?2?2m?2008． 当1500?m≤2007时，S2008?2m?22008?m?2．
上海文20 如果有穷数列a1，a2，a3，?，am（m为正整数）满足条件a1?am，a2?am?1，?，am?a1，即ai?am?i?1（i?1，，2?，m），我们称其为“对称数列”． 例如，数列1，，，，2521与数列8，，，，，42248都是“对称数列”．
（1）设?bn?是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1?2，b4?11．依次写出?bn?的每一项； （2）设?cn?是49项的“对称数列”，其中c25，c26，?，c49是首项为1，公比为2的等比数列，求?cn?各项的和S； （3）设?dn?是100项的“对称数列”，其中d51，d52，?，d100是首项为2，公差为3的等差数列．求?dn?前n项的和Sn(n?1，，2?，100)． 解：（1）设数列?bn?的公差为d，则b4?b1?3d?2?3d?11，解得 d?3， ?数列?bn?为2，，，5811，，，852． （2）S?c1?c2???c49?2(c25?c26???c49)?c25 ?2?1?2?22???224??1?2?225?1??1?226?3?67108861． （3）d51?2，d100?2?3?(50?1)?149． 由题意得 d1，d2，?，d50是首项为149，公差为?3的等差数列． 当n≤50时，Sn?d1?d2???dn ?149n?n(n?1)2(?3)??32n2?3012n． 当51≤n≤100时，Sn?d1?d2???dn ?S50??d51?d52???dn? ?377?5?2n?(?5(0n)?50n)?(5?12 )3 ?32n2?2992n?750．0 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 ? 综上所述，S???32n2?3012n，1≤n≤50，n?? ?3 ??2n2?2992n?7500，51≤n≤100． 陕西理22 已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk＝12akak?1(k?N*),其中a1=1. (Ⅰ)求数列{ak}的通项公式; (Ⅱ)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{bk}满足bk?1k?nb?a（k=1,2,?，n-1）,b1=1. kb?1求b1+b2+?+bn. 解：（Ⅰ）当k?1，由a1?S1?12a1a2及a1?1，得a2?2． 当k≥2时，由a1k?Sk?Sk?1?2a1kak?1?2ak?1ak，得ak(ak?1?ak?1)?2ak． 因为ak?0，所以ak?1?ak?1?2．从而a2m?1?1?(m?1)?2?2m?1．
a2m?2?(m?1)?2?2m，m?N*．故ak?k(k?N*)． （Ⅱ）因为abk?1n?kn?kk?k，所以b????． kak?1k?1所以bbkbk?1b(n?k?1)(n?k?2)?(k?b????2?bn?1)1?(?1)k?1????2?1?1 k?1bk?2b1k?(k?1)?(?1)k?1?1nCkn(k?1，2，?，n)．
故b1?b2?b13???bn?n??C123n?1nn?Cn?Cn???(?1)Cn?? ?1n?1???C0n?C1n?C2n???(?1)n?Cnn????1n． 陕西文20 已知实数列{an}是等比数列,其中a7?1,且a4,45?1,a5成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)数列{an}的前n项和记为Sn,证明: Sn,＜128(n?1,2,3,?). 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料