湖南理21
已知An(an，bn)（n?N*）是曲线y?ex上的点，a1?a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足S22n?3n2an?Sn?1，an?0，
n?2，3，4，?． （I）证明：数列??bn?2?b?（n≤2）是常数数列；
?n?（II）确定a的取值集合M，使a?M时，数列{an}是单调递增数列； （III）证明：当a?M时，弦AnAn?1（n?N*）的斜率随n单调递增
解：（I）当n≥2时，由已知得S222n?Sn?1?3nan． 因为a2n?Sn?Sn?1?0，所以Sn?Sn?1?3n． ?? ① 于是Sn?1?Sn?3(n?1)2． ??② 由②－①得an?1?an?6n?3． ?? ③ 于是an?2?an?1?6n?9． ?? ④ 由④－③得an?2?an?6， ?? ⑤
ba所以n?2?en?2?2?an?e6，即数列??bn?2?ban?ean?(n≥2)是常数数列． ne?bn?（II）由①有S2?S1?12，所以a2?12?2a．由③有a3?a2?15，a4?a3?21，所以a3?3?2a，a4?18?2a． 而 ⑤表明：数列{a2k}和{a2k?1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列， 所以a2k?a2?6(k?1)，a2k?1?a3?6(k?1)，a2k?2?a4?6(k?1)(k?N*)， 数列{an}是单调递增数列?a1?a2且a2k?a2k?1?a2k?2对任意的k?N*成立． ?a1?a2且a2?6(k?1)?a3?6(k?1)?a4?6(k?1) ?a1?a2?a3?a4?a?12?2a?3?2a?18?2a?9154?a?4． 即所求a的取值集合是M????a94?a?15?4??． （III）解法一：弦Abn?1?bnean?1?eannAn?1的斜率为kn?a? n?1?anan?1?an任取xf(x)?ex?ex0ex(x?xx0)?(ex?e0)0，设函数x?x，则f(x)?x?x2 0(0)大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 记g(x)?ex(x?x0)?(ex?ex0)，则g?(x)?ex(x?x0)?ex?ex?ex(x?x0)， 当x?x0时，g?(x)?0，g(x)在(x0，??)上为增函数， 当x?x0时，g?(x)?0，g(x)在(??，x0)上为减函数，
所以x?x0时，g(x)?g(x0)?0，从而f?`(x)?0，所以f(x)在(??，x0)和(x0，??)上都是增函数． 由（II）知，a?M时，数列{an}单调递增， ean?1?ea取xnean?2?ean0?an，因为an?an?1?an?2，所以kn?a?． n?1?anan?2?an取x，因为aean?1?ean?2ean?ean?20?an?2n?an?1?an?2，所以kn?1?a?a． n?1?an?2an?n?2所以kn?kn?1，即弦AnAn?1(n?N*)的斜率随n单调递增．
解法二：设函数f(x)?ex?ean?1x?a，同解法一得，f(x)在(??，an?1)和(an?1，??)上都是增n?1函数， 所以kean?ean?1ex?ean?1aean?2?ean?1ex?ean?1n?n?a?lim?e1，kan??lim?en?1． n?an?1n→a??1n?1x?an?1an?2?an?1n→a?n?1x?an?1故kn?kn?1，即弦AnAn?1(n?N*)的斜率随n单调递增．
湖南文20
设Saa222n是数列{n}（n?N*）的前n项和，1?a，且Sn?3nan?Sn?1，an?0，n?2，3，4，?． （I）证明：数列{an?2?an}（n≥2）是常数数列； （II）试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列{bn}（n?N*）中的所有项都是数列{an}中的项，并指出bn是数列{an}中的第几项．
20．解：（I）当n≥2时，由已知得S222n?Sn?1?3nan．
因为a2n?Sn?Sn?1?0，所以Sn?Sn?1?3n． ??????????① 于是Sn?1?Sn?3(n?1)2． ???????????????????② 由②－①得：an?1?an?6n?3．?????????????????③ 于是an?2?an?1?6n?9．????????????????????④ 由④－③得：an?2?an?6．???????????????????⑤ 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 即数列{an?2?an}（n≥2）是常数数列． （II）由①有S2?S1?12，所以a2?12?2a． 由③有a1?a2?15，所以a3?3?2a，
而⑤表明：数列{a2k}和{a2k?1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列． 所以a2k?a2?(k?1)?6?6k?2a?6，a2k?1?a3?(k?1)?6?6k?2a?3，k?N*． 由题设知，b?1n?18?7n．当a为奇数时，a2k?1为奇数，而bn为偶数，所以bn不是数列{a2k?1}中的项，bn只可能是数列{a2k}中的项． 若b1?18是数列{a2k}中的第kn项，由18?6k?2a?6得a?3k0?6，取k0?3，得a?3，此时a2k?6k，由bn?an?12k，得18?7?6k，k?3?7n?1?N*，从而bn是数列{an}中的第6?7n?1项．
（注：考生取满足a?3kn?6，kn?N*的任一奇数，说明bn是数列{an}中的第6?7n?1?2a3?2项即可） 湖北理21 已知m，n为正整数， （I）用数学归纳法证明：当x??1时，(1?x)m≥1?mx； mm（II）对于n≥6，已知??1?1m?1?1?n?3???2，求证???1?m?3???2， mm求证??m??1??1?n?3?????2??，m?1，2，?，n； （III）求出满足等式3n?4n???(n?2)n?(n?3)m的所有正整数n．
本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：
（ⅰ）当m?1时，原不等式成立；当m?2时，左边?1?2x?x2，右边?1?2x， 因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；
（ⅱ）假设当m?k时，不等式成立，即(1?x)k≥1?kx，则当m?k?1时，
大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 ∵x??1，∴1?x?0，于是在不等式(1?x)k≥1?kx两边同乘以1?x得 (1?x)k·(1?x)≥(1?kx)(1?x)?1?(k?1)x?kx2≥1?(k?1)x， 所以(1?x)k?1≥1?(k?1)x．即当m?k?1时，不等式也成立． 综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立． m（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，由（Ⅰ）得???1?1?n?3??≥1?mn?3?0， nnmm于是????1?m??≤?1?1???1?n?m?n?3???n?3??????1?n?3????????1??2??，m?1，2，?，n． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当n≥6时， ?nnn2n??1?1?n?3??????1?2?n?3????????1?n?n?3???12???1??2???????1??2???1?12n?1， nnn∴??n?2??n?3?????n?1??n?3???????3??n?3???1． 即3n?4n???(n?2)n?(n?3)n．即当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n． 故只需要讨论n?1，2，3，4，5的情形： 当n?1时，3?4，等式不成立； 当n?2时，32?42?52，等式成立； 当n?3时，33?43?53?63，等式成立； 当n?4时，34?44?54?64为偶数，而74为奇数，故34?44?54?64?74，等式不成立； 当n?5时，同n?4的情形可分析出，等式不成立． 综上，所求的n只有n?2，3． 解法2：（Ⅰ）证：当x?0或m?1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当x??1，且x?0时，m≥2，(1?x)m?1?mx． ① （ⅰ）当m?2时，左边?1?2x?x2，右边?1?2x，因为x?0，所以x2?0，即左边?右边，不等式①成立； （ⅱ）假设当m?k(k≥2)时，不等式①成立，即(1?x)k?1?kx，则当m?k?1时， 因为x??1，所以1?x?0．又因为x?0，k≥2，所以kx2?0． 于是在不等式(1?x)k?1?kx两边同乘以1?x得 (1?x)k·(1?x)?(1?kx)(1?x)?1?(k?1)x?kx2?1?(k?1)x， 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 所以(1?x)k?1?1?(k?1)x．即当m?k?1时，不等式①也成立． 综上所述，所证不等式成立．
nn（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，∵????1?1?n?3???12，∴??1?m?m????1??1?n?3???????2??， ?m而由（Ⅰ），???1?1?n?3??≥1?mn?30?， nn∴??mm??1?m?n?3??≤??1???1????1?n?3????????2??． ?（Ⅲ）解：假设存在正整数n0≥6使等式3n0?4n0???(n0?2)n0?(n0?3)n0成立， n0n0n0即有??3???n????4??n??????n0?2???1． ②
0?30?3??n0?3?n0n0n0又由（Ⅱ）可得??3??n?????4??n??????n0?2?n? 0?30?3??0?3?n0n0n0???n??n?1??1??1?0n????1?0n?????1??3?? 0?3?0?3??n0nn?1??00?1??2?????1??2?????112?1?2n0?1，与②式矛盾． 故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n． 下同解法1．
湖北文20
已知数列{an}和{bn}满足：a1?1，a2?2，an?0，bn?anan?1（n?N*），且{bn}是以q为公比的等比数列． （I）证明：an?2?anq2；
（II）若cn?a2n?1?2a2n，证明数列{cn}是等比数列； （III）求和：11a??1a?1???1?1． 1a23a4a2n?1a2n本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．
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