解：（Ⅰ）设等比数列?an?的公比为q(q?R)，
由a7?a1q6?1，得a1?q?6，从而a4?a1q3?q?3，a5?a1q4?q?2，a6?a1q5?q?1． 因为a4，a5?1，a6成等差数列，所以a4?a6?2(a5?1)， 即q?3?q?1?2(q?2?1)，q?1(q?2?1)?2(q?2?1)．
n?1所以q?12．故a?1qn?1?64??1?n?a1qn?q?6??2??．
64??1??1?n?（Ⅱ）Sa?qn)???1(1?2???????1?n?n?1?q??128?1?1?1????2????128． 2?? 山东理17 设数列?ann?满足a1?3a2?32a3?…?3n?1an?3，a?N*． （Ⅰ）求数列?an?的通项； （Ⅱ）设bn?na，求数列?bn?的前n项和Sn． n(I)a?1an1?3a2?32a3?...3nn?3,
a2n?11?3a2?3a3?...3n?2an?1?3(n?2), 3n?1ann?3?n?13?13(n?2). a1n?3n(n?2). 验证n?1时也满足上式，a1n?3n(n?N*). (II) bn?n?3n，
Sn?1?3?2?32?3?33?...n?3n
3Sn??1?32?2?33?3?34?...n?3n?1
?2S2n?3?3?33?n3?n?n?3 1大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 3?3n?1?n?3n?1， ?2Sn?1?3 Sn?
nn?11n?13?3??3?? 244山东文18
设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3?7，且a1?3，3a2，a3?4构成等差数列． （1）求数列{an}的等差数列．
（2）令bn?lna3n?1，n?1，2，?，求数列{bn}的前n项和T． ?a1?a2?a解：（1）由已知得:?3?7，??(a1?3)?(a3?4)?2?3a
2. 解得a2?2．
设数列{aq，由a2n}的公比为2?2，可得a1?q，a3?2q． 又S23?7，可知q?2?2q?7， 即2q2?5q?2?0， 解得q1?2，q2?12． 由题意得q?1，?q?2． ?a1?1．
故数列{a1n}的通项为an?2n?． （2）由于bn?lna3n?1，n?1，2，?， 由（1）得an3n?1?23
?bn?ln23n?3nln2 又bn?1?bn?3ln2n ?{bn}是等差数列．
?Tn?b1?b2???bn
大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 ?n(b1?bn)2
?n(3ln2?3ln2)2 ?3n(n?1)2ln2. 故T3n(n?1)n?2ln2．
全国2理21 设数列{aan?1n}的首项a1?(0，，1)a3?n?2，n?2，3，4，…． （1）求{an}的通项公式； （2）设bn?an3?2an，证明bn?bn?1，其中n为正整数． 21．解：（1）由a3?an?1n?2，n?2，3，4，…， 整理得 1?a1n??2(1?an?1)． 又1?a1?0，所以{1?an}是首项为1?a11，公比为?2的等比数列，得 n?1
a?(1?a??1?n?11)??2??
（2）方法一： 由（1）可知0?a3n?2，故bn?0．
那么，b22n?1?bn ?a2)?a2n?1(3?2an?1n(3?2an)2 ???3?an?3?a?2?????3?2?n?2???a2n(3?2an) ?9an4(an?1)2. 又由（1）知a?0且a2?b2nn?1，故bn?1n?0，
因此 bn?bn?1，n为正整数．
方法二： 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 由（1）可知0?a3n?2，an?1， 因为a3?ann?1?2， 所以
bn?1?an?13?2a?(3?an)ann?12． 由a?1可得a?3?a3n?nn(3?2an)???2??，
2即 a2?3?an?n(3?2an)???2???an
两边开平方得 a3?ann3?2an?2?an． 即 bn?bn?1，n为正整数． 全国2文17 设等比数列{an}的公比q?1，前n项和为Sn．已知a3?2，S4?5S2，求{an}的通项公式． 解：由题设知aa1(1?qn)1?0，Sn?1?q， ?则?a21q?2，?a(1?q2)?a?q4)?5?11(1．?1?q1?q ② 由②得1?q4?5(1?q2)，(q2?4)(q2?1)?0，(q?2)(q?2)(q?1)(q?1)?0， 因为q?1，解得q??1或q??2．
当q??1时，代入①得a1?2，通项公式an?2?(?1)n?1； 当q??2时，代入①得a1?12，通项公式a1n?2?(?2)n?1． 全国1理22 已知数列?an?中a1?2，an?1?(2?1)(an?2)，n?1，2，3，…． （Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）若数列?b?4n?中b1?2，bn?1?3bn2b，n?1，2，3，…， n?3大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 证明：2?bn≤a4n?3，n?1，2，3，…． 解：（Ⅰ）由题设：
an?1?(2?1)(an?2) ?(2?1)(an?2)?(2?1)(2?2) ?(2?1)(an?2)?2， an?1?2?(2?1)(an?2)．
所以，数列?an?2?是首项为2?2，公比为2?1的等比数列，an?2?2(2?1)n，
即an的通项公式为an?2??(2?1)n?1??，n?1，2，3，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明． （ⅰ）当n?1时，因2?2，b1?a1?2，所以
2?b1≤a1，结论成立． （ⅱ）假设当n?k时，结论成立，即2?bk≤a4k?3， 也即0?bk?2≤a4k?3?3． 当n?k?1时， bk?1?2?3bk?42b?2 k?3?(3?22)bk?(4?32)2b
k?3?(3?22)(bk?2)2b?0， k?3又12b3?122?3?3?22， k?所以 b(3?2b2k?)()k?1?2?2bk?3 2?(3?22)2(bk?2) ≤(2?1)4(a4k?3?2) ?a4k?1?2． 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料