第二章 同步发电机突然三相短路分析
第一节 同步发电机基本方程
一、理想电机
以理想凸极同步发电机为研究对象，它符合下述“四性”假设条件： 1）对称性。定子三相绕组对称，空间上互差120°电角度；转子对本身的直轴和交轴对称。
2）正弦性。定子电流在气隙中产生正弦分布的磁势；转子绕组和定子绕组的互感磁通在气隙中按正弦分布。
3）光滑性。定、转子的槽和沟不影响定、转子电感，即认为电机定、转子表面光滑。
4）不饱和性。铁芯的导磁系数为常数，即忽略磁路饱和的影响，分析中可用叠加原理。
二、物理结构
定子：a、b、c三相绕组； 转子：励磁绕组（ff）、直轴阻尼绕组（DD）、交轴阻尼绕组（QQ）。
三、正方向的规定
磁链：绕组轴线正方向作为磁链正方向，即????轴线。
电流：定子绕组正向电流产生的磁链与相应绕组轴向相反（去磁作用），即
?i???；转子绕组正向电流产生的磁链与相应绕组轴向相同（助磁作用），即?i???。
电压：定子绕组向负荷侧看，电压降正方向与电流正方向一致，即?u??i； 励磁绕组向绕组侧看，电压降正方向与电流正方向一致，即?u??i）；阻尼绕组为短接绕组，电压为零。
a?dbDQzfxD?fQyacbqc
图2-1 同步发电机各绕组轴线正方向示意图
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rfa?uf?iaLaaraifLffrDxzyrbLbbbibuD?0iDLDDLccrcicuaubucrQiQLQQcuQ?0
图2-2 同步发电机各回路电路
四、电压方程和磁链方程
1. 电压方程 矩阵形式为
?ua??r?u??0?b???uc??0 ?????uf??0?0??0?????0?0???0r000000r00rf000000rD00???ia??pψa???i??pψ?0???b??b?0???ic??pψc? ?????? （2-1）
0??if??pψf?0??iD??pψD??????rQ?ipψ?Q????Q????0000式中，p?d——微分算子。
dt分块矩阵形式为
?uabc??rS ????u?fDQ??02. 磁链方程 矩阵形式为
?ψa??Laa?ψ??M?b??ba?ψc??Mca ?????ψf??Mfa?ψD??MDa?????ψQ????MQaMabLbbMcbMfbMDbMQb0???iabc??pψabc? ?i???pψ? （2-2）?rR??fDQ??fDQ?MacMbcLccMfcMDcMQcMafMbfMcfLffMDfMQfMaDMbDMcDMfDLDDMQDMaQ???ia???i?MbQ???b?McQ???ic? ??? （2-3）
MfQ??if?MDQ??iD????LQQ?i???Q??分块矩阵形式为
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?ψabc??LSS?? ??ψfDQ??LRS?LSR???iabc? ?i? （2-4）
LRR???fDQ?将磁链方程代入电压方程，则可得到一组以各绕组电流为变量的微分方程组。
若该方程组为常系数微分方程组，则求解容易；若该方程组为变系数微分方程组，则求解是个难题。实际上，该方程组是常系数微分方程组还是变系数方程组，决定于电感系数矩阵是否常系数矩阵。
五、电感系数
1. 电感系数的变化规律
1）与定子绕组相关的电感系数LSS、LSR和LRS均随转子的位置角（转子d轴与定子a轴之间的夹角）???t??0作周期性变化。这是因为转子凸极且旋转（定、转子之间存在相对运动），使以上各电感系数对应的磁链经过的气隙随转子位置按周期性变化。
2）仅与转子绕组相关的电感系数LRR均为常数。这是因为这些绕组设置在转子上，随转子一起旋转，与转子之间没有相对运动。使以上各电感系数对应的磁链经过的气隙不因转子位置变化而变化。且由于d轴和q轴相互垂直，d轴上的绕组和q轴上的绕组之间不存在互感，即它们之间的互感系数为0。
2. 结论及启发
1）与定子绕组相关的电感系数是变化的，所以上述微分方程组是一组变系数微分方程组，不能用一般解常系数微分方程的方法求解，求解相当困难。
2）仅与转子绕组相关的电感系数均为常数的事实，给我们一个启示：如果将定子绕组上的各电气量转换到转子上来表示，则可能使变系数微分方程式变为常系数微分方程式。
如何转换？——借助于坐标变换来完成。
六、派克变换
1. 派克变换的实质
就是将定子各电气量（如：电压、电流、电势、磁链等）从原来的abc坐标系统（设置在定子上，固定不动）转换到新的dq0坐标系统（设置在转子上，随转子一起旋转，d轴和q轴互相垂直，d轴线与转子d轴线重合，正方向一致，q轴正方向沿转子旋转方向超前d轴900）。
2. 对派克变换的定性理解
由电机学知识可知，当同步电机定子三相绕组流过对称平衡三相交流电流时，将在空气隙中产生一旋转磁场，该旋转磁场的角速度与定子交流电流角速度相同，旋转方向与交流电流的相序有关。转子励磁绕组施加一直流电流时，将建立一恒定磁场随转子一起旋转，也会在空气隙中产生一旋转磁场。同步电机工作机理实际上就是该两个旋转磁场相互作用（称为电枢反应）的结果。若转子旋转磁场牵着定子旋转磁场跑，则为发电机运行模式；若定子旋转磁场牵着转子旋转磁场跑，则为电动机运行模式。
从产生旋转磁场的角度来看：定子三相绕组流过对称平衡三相交流电流与旋转
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的转子绕组流过直流电流效果是一样的。由此，从定性的角度不难理解派克变换的实质。
3. 变换关系式的推导 同步电机稳态运行时，电枢磁势幅值不变，转速恒定，相对转子静止。它可以
?来表示。如果定子电流用一个同步旋转的通用相量用一个以同步转速旋转的矢量Fa?表示，?与矢量F?在以?顺?在数值上成比例，?I那么相量?I这样当通用相量?Immmas转子方向旋转时，它在静止的a、b、c坐标轴上的投影即为对称的三相正序电流的瞬时值ia、ib、ic，如图2-3所示。则
?ia??Imcos??0（2-5） ?ib??Imcos(??120)
?i??Icos(??1200)m?c式中，???st??0。其中?s为电流相量的角速度；?0为初相角。
a相时间轴??Imda相时间轴??Im?sid?sia??r??icibiqb相时间轴c相时间轴b相时间轴c相时间轴q
图2-3 通用电流相量在abc坐标轴上的 图2-4 通用电流相量在dq0坐标轴上的
投影关系 投影关系
也可以把电流相量分解为d轴分量id和q轴分量iq，如图2-4所示。则
?id??Imcos(?-?) ? 0i??Icos(?-??90)?Isin(?-?)mm?q（2-6）
式中，???rt??0，称为转子位置角。其中?r为转子角速度；?0为转子初始位置角。
利用三角变换式
2?0000cos(???)?[cos?cos??cos(??120)cos(??120)?cos(??120)cos(??120)]?3 ?20000?sin(???)?[sin?cos??sin(??120)cos(??120)?sin(??120)cos(??120)]3?可得
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2?00i?[icos??icos(??120)?icos(??120)]dabc?3 （2-7） ?2?iq?[iasin??ibsin(??1200)?icsin(??1200)]3?由式（2-7）可见：通过这种变换，将三相电流ia、ib、ic变换成等效两相电流id和iq。可以设想，这两个电流是定子的两个等效绕组dd（称为定子直轴等效绕组或定子等效直轴绕组）和qq（称为定子交轴等效绕组或定子等效交轴绕组）中的电流。这组等效绕组不像实际的a、b、c三相绕组那样在空间上静止不动，而是随转子一起旋转的。等效绕组与转子绕组之间没有相对运动，相应的电感系数也就变为常数了。因此，在dq0坐标系统下同步发电机有5个绕组，即
直轴（d轴）方向：定子直轴等效绕组（dd）、励磁绕组（ff）、直轴阻尼绕组（DD）； 交轴（q轴）方向：定子直轴等效绕组（qq）、交轴阻尼绕组（QQ）。
需要说明的是：
1）以上推导是基于定子电流为三相对称电流引出的。这时，id和iq为常数，即为直流。
2）如果定子三相电流不对称但是平衡，即满足 ia?ib?ic?0，那么仍然可以用一个通用相量来代表三相电流，不过这时通用相量的大小和转速是变化的，因而id和iq的大小也是变化的。
3）如果定子三相电流不平衡，即ia?ib?ic?0，此时三相电流是三个独立的变量，仅用两个新变量（d轴分量和q轴分量）不足以代表原来的三个变量。这时可以令
??i0；ib?ib??i0；ic?ic??i0 ia?ia??ib??ic??0 ia?来表示。另外须补充一个分量，即 ?、ib?、ic?是平衡的，仍然可用通用相量?I这样iam i0?1(ia?ib?ic) （2-8）
3称为零轴电流。
联立式（2-7）、式（2-8），则得到定子三相电流为任意情况下的变换关系，写成矩阵形式
??id??cos???2?-sin? ?iq??3???1?i0???2?cos(??120)cos(??120)??ia?? （2-9） -sin(??1200)-sin(??1200)??ib???11???ic??22?00缩记为 idqo?Piabc （2-10）
式中
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