??cos?2?P?-sin?3?1??2?cos(??120)cos(??120)? -sin(??1200)-sin(??1200)? （2-11）
?11?22?00称为派克变换矩阵。
P为非奇异矩阵，因此存在逆阵P，即
?1cos?-sin?1??? （2-12）00cos(??120)-sin(??120)1 P-1?? ??00??cos(??120)-sin(??120)1??利用逆变换可得 iabc?P-1idq0 （2-13） 展开写成
cos?-sin?1??id??ia?????cos(??1200)-sin(??1200)1??i? i ?b?????q?00??ic????cos(??120)-sin(??120)1????i0??（2-14）
可见：当定子三相电流不平衡时，每相电流中都含有相同的零轴电流i0。由于定子三相绕组完全对称，在空间上互差1200电角度，三相零轴电流在气隙中的合成磁势为零，故不产生与转子交链的磁通（不参与电枢反应），它只产生与定子绕组交链的磁通，其值与转子位置无关。
同样的变换关系也适用于其它变量，即
ψdq0?Pψabc；ψabc?P-1ψdq0 udq0?Puabc ；uabc?P-1udq0
4.
abc坐标系统和dq0坐标系统之间的电流变换关系
表2-1 abc坐标系统和dq0坐标系统之间的电流变换 ?s?0 abc坐标系统 dq0坐标系统 id??Imcos[?rt?(?0-?0)] ia??Imcos?0 ib??Imcos(?0?1200) ic??Imcos(?0?1200) ωs?ωr ia??Imcos(?rt??0) iq?Imsin[?rt?(?0-?0)] i0?0 id??Imcos(?0-?0) ib??Imcos(?rt??0?1200) ic??Imcos(?rt??0?1200) ωs?2ωr ia??Imcos(2?rt??0) iq?Imsin(?0-?0) i0?0 id??Imcos[?rt?(?0-?0)] ib??Imcos(2?rt??0?1200) iq??Imsin[?rt?(?0-?0)] ic??Imcos(2?rt??0?1200) i0?0
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表2-1说明：
1）abc坐标系统下的直流和对称倍频交流电流，变换到dq0坐标系统下为基频交流电流。由于变换可逆，也可以说dq0坐标系统下的基频交流电流，变换到abc坐标系统下为直流和对称倍频交流电流。
2）abc坐标系统下的基频交流电流，变换到dq0坐标系统下为直流。由于变换可逆，也可以说dq0坐标系统下的直流，变换到abc坐标系统下为基频交流电流。
七、派克方程
1. 电压变换
经派克变换后得
?ud??r?u??0?q???u0??0?????uf??0?0??0?????0?0???00r00000000000rD0r00rf00000???id??p?d???ωrψq???i??p????0?ωψqqrd???????0???i0??p?0??0? ????????? （2-15）
0??if??p?f??0?0??iD??p?D??0????????rQ?ip?0?????Q??????Q??称为派克方程。
由式（2-15）可以看出：
1）dd绕组和qq绕组中的电势包含两项。p?项是由于磁链大小改变而引起的，其作用原理与变压器类似，所以称为变压器电势；??项与转子转速有关，其作用原理与发电机类似，所以称为发电机电势或旋转电势。
2）式中第三个方程，即u0??ri0?p?0是独立的，这就是说，等效的零轴绕组从磁的意义上说，对其它绕组是隔离的。基于此，分析中一般不考虑零轴绕组。
2. 磁链变换
经派克变换后得
?Ld?ψd??0?ψ???q??0?ψ0??3 ????maf2?ψf??3?ψD??maD???2??ψQ???0??0Lq0003maQ200L0000maf00Lfmr0maD00mrLD00???id?maQ????0???iq????i?0??0? （2-16） ??if?0??iD??????iQ?LQ???? 由式（2-16）可以看出：
1）方程中的各项电感系数都变为常数了。这是因为定子三相绕组已被假想的等效绕组dd和qq所代替，这两个绕组的轴线总是分别与d轴和q轴一致的，而d轴向和q轴向的导磁系数是与转子位置无关的，因此磁链与电流的关系（电感系数）自然也与转子位置角无关。
2）出现了一个新问题：电感系数矩阵不对称，即定子等效绕组与转子绕组之间
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的互感系数不可易。其原因为
①从数学上讲，这是由于所采用的变换矩阵P不是正交矩阵的缘故。
②从物理意义上讲，定子对转子的互感中出现系数3，是因为定子三相合成磁
2势为一相磁势的3倍。
2解决的方法有
①对变换矩阵进行改造，使之成为一个正交矩阵。具体是将P矩阵前的系数2-1改为2， P矩阵前加上系数2。
333②更惯用的方法是转换为标幺制表示，通过恰当地选择同步发电机定子侧和转子侧各电气量的基准值，使标幺值表示的电感系数为可易。关于同步发电机标幺制系统在此不再赘述。采用标幺制后，不但互感系数可易，而且还存在以下关系
maf*?maD*?mr*?Lad*?Xad*
maQ*?Laq*?Xaq*
即所有d轴互感系数的标幺值均与d轴电枢反应电抗相等；所有q轴互感系数的标幺值均与q轴电枢反应电抗相等。
标幺值下的磁链方程为（为书写方便略去下标“*”）
00XadXad0???id??ψd??Xd???i??ψ??0X000Xqaq??q??q???ψ??00X0000???i0? ?0??? ??? （2-17）
00XfXad0??if??ψf??Xad?ψD??Xad00XadXD0??iD???????0X000Xψi?aqQ??Q????Q?????式中，Xd?Xad?Xσ为dd绕组的电抗，称为直轴同步电抗；
Xq?Xaq?Xσ为qq绕组的电抗，称为交轴同步电抗；
Xf?Xad?Xfσ为ff绕组的电抗； XD?Xad?XDσ为DD绕组的电抗；
XQ?Xaq?XQσ为QQ绕组的电抗；
Xad、Xaq分别为直轴、交轴电枢反应电抗；
Xσ、Xfσ、XDσ、XQσ分别为定子绕组、ff绕组、DD绕组、QQ绕组的漏抗。
第二节 同步发电机的电动势、电抗和等值电路
一、用同步电势和同步电抗表示的稳态方程和相量图
1. 稳态运行方程式
稳态可以看作是暂态的特例，同样可以应用派克方程。但稳态运行有如下已知
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关系：1）ωs?ωr?1；2）id、iq、if、ud、uq、uf为常数；3）iD?iQ?0；4）pψd?pψq?pψf?pψD?pψQ?0。以上关系代入电压方程和磁链方程得
ud??rid?ψq （2-18） uq??riq?ψd （2-19） uf??rif （2-20） ψd??Xdid?Xadif （2-21） ψq??Xqiq （2-22） 整理得
ud??rid?Xqiq （2-23） uq??riq?Xdid?Eq （2-24） 式中
Eq?Xadif?Xadufrf
（2-25）
称为发电机空载电势。
将标量表示的方程转换为相量表示的方程。选d轴为实轴，超前d轴900的q轴为虚轴，则
??u；U??i；I??ji；E??ju；I??jE Uddddqqqqqq将以上关系代入式（2-23）、式（2-24），可得
???rI??jXI?????rI??jXI?U U ddqq；qqdd?Eq （2-26）
忽略r可得
???jXI?U???jXI?? Udqq；qdd?Eq （2-27）
则
??U???jXI??? Udqdd?jXqIq?Eq
即
???jXI??? U（2-28） dd?jXqIq?Eq
或
??U??jXI?? E（2-29） qdd?jXqIq
这就是同步发电机稳态运行的电压方程式。 2. 相量图和等值电路 （1） 隐极机（Xd?Xq）
由于隐极机Xd?Xq，故式（2-29）可改写为
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??U??jX(I??I?)?U??jXI? E qddqd （2-30）
根据式（2-30）可以画出隐极机的等值电路图和相量图如图2-5所示。
q?EqjXjXdI??Idd?Uq?U?Eq?Uq?Iq???I?Id?Udd图2-5 隐极机的等值电路图和相量图
（2）凸极机（Xd?Xq）
由于凸极机Xd?Xq，故由式（2-29）无法直接画出凸极机的相量图，因为该式
?、I?在d、q轴确定之前无法确定，须对该式进行变换。 中Idq??U??jXI??Eqdd?jXqIq
??jXI?????Uqd?jXqIq?jXdId-jXqId
??jX(I??I?)?j(X-X)I? ?Uqdqdqd??jXI???Uq?j(Xd-Xq)Id
??j(X-X)I? （2-31） ?EQdqd式中
??U??jXI? EQq （2-32）
称为虚拟电势。
?、I?与I?无关；?、j(X-X)I?利用虚拟电势可确定q轴方向，因为：1）E2）EdQqqdqd?必定在q轴方向上。 都在q轴方向上，则EQ根据式（2-32）、式（2-31）可以画出凸极机的相量图，根据式（2-27）可以画出凸极机的等值电路图。如图2-6所示。
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