由uf?const.得
?uf?0 （2-65）
由ud?uq?0得
?ud??ud|0|（2-66）
3. 进行拉氏变换求运算形式的故障分量方程
；
?uq??uq|0|
小贴士：
拉氏变换，即拉普拉斯（Laplace）变换。是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量做拉氏变换，并在复数域中做各种运算，再将运算结果做拉式反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果容易得多。拉式变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而简化计算。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉式变换的基础上的。
通过拉氏变换，将微分方程变为代数方程求解，变量为s，进行一定运算后再经拉氏反变换，求得变量的时间函数，即时域解，变量为t。
拉氏函数定义为
?F(s)??f(t)e?stdt
0式中，s为复变数，电工学科中常用p代替；f(t)为t函数，也称原函数；F(s)为－拉氏函数，也称象函数。
表2-1 常用的时间函数及其象函数
原函数f(t)单位脉冲单位阶跃1(t)t象函数F(s)1电工象函数原函数f(t)象函数F(s)电工象函数1sin?t?s2??2ss??22?p2??21s1s21s??1(s??)21p1p21p??1(p??)2cos?tpp2??2n!pn?1tnn!s?1ne?ate?atsin?te?atcos?tdf(t)dt?(s??)2??2s??(s??)2??2?(p??)2??2p??(p??)2??2pF(p)?f(t0)te?at（时域）导数性质sF(s)?f(t0)
上述故障分量方程中各变量都是t的函数，且初值均为0，换算以p为变量的象函数得
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?ud|0|puq|0|p??r?Id(p)?p?Ψd(p)??Ψq(p) （2-67） ??r?Id(p)?p?Ψq(p)??Ψd(p) （2-68）
??Uf(p)?rf?If(p)?p?Ψf(p) （2-69）
?Ψd(p)??Xd?Id(p)?Xad?If(p) （2-70）
?Ψq(p)??Xq?Iq(p) ?Ψf(p)??Xad?Id(p)?Xf?If(p) 下面求?Id(p)、?Iq(p)和?If(p)。 式（2-72）代入式（2-69），并整理得
?I?pXad?Id(p)f(p)??Uf(p)r?pX ff式（2-73）代入式（2-70），并整理得
?ΨX2adpXadd(p)?r?Uf(p)?(Xd?r)?Id(p)f?pXff?pXf ＝G(p)?Uf(p)?Xd(p)?Id(p)式中
G(p)?Xadr，称为运算电导。
f?pXf X(p)?XpX2addd?r?pX，称为运算电抗。
ff?2 ?Xad?当 t?0时： p?? ， Xd(p)?Xd??X?X（直轴暂态电抗）?df
?当 t??时： p? 0， Xd(p)?X（直轴同步电抗）d不调节励磁（已知条件），即?Uf(p)?0，代入式（2-74）得
?Ψd(p)??Xd(p)?Id(p) 式（2-71）、式（2-75）代入式（2-67）、式（2-68），并整理得
?[r?pXd(p)]?Id(p)?Xq?Iq(p)??ud|0|p （2-71）
（2-72）
（2-73）
（2-74）
2-75）
（2-76）
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（ ?Xd(p)?Id(p)?（r?pXq）?Iq(p)??uq|0|p （2-77）
式（2-76）、式（2-77）为二元一次方程，变量为?Id(p)和?Iq(p)，解得
?Id(p)??Iq(p)?4. 求解
(r?pXq)ud|0|?Xquq|0|[r?pXd(p)](r?pXq)?XqXd(p)?Xd(p)ud|0|?[r?pXd(p)]uq|0|[r?pXd(p)](r?pXq)?XqXd(p)?1 （2-78） p1 （2-79） p? 由上两式可见，?Id(p)、?Iq(p)很难变换为可进行拉氏逆变换的式子，要用“数学方法＋物理概念”方法求解近似解。 按微分方程的解有通解和特解：
1）特解：即短路后的稳态值，即?id?、?iq?。
2）通解：当特征根为实数p时，其解为Aept，当特征根为复数??j?时，其解
?t为Aecos(?t??)。
（1）求特解
稳态时，p?0；忽略电阻，令r?0。则式（2-59）、式（2-60）可改写为
?ud????q?uq???d （2-80）
由于?if?0，则式（2-62）、式（2-63）可改写为
??d??Xd?id??q??Xq?iq （2-81）
则
?ud??ud|0|????q?Xq?iq??uq??uq|0|???d??Xd?id?得
?iq????id??ud|0|Xq
uq|0|Xd （2-82）
（2）求通解
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分两步进行：1）求初值，即参数A，相当于处于超导状态，即电阻为零。2）求时间常数。
1）求初值。令r?0，rf?0，则
2Xad?（直轴暂态电抗） Xd(p)?Xd??XdpXfpud|0|?uq|0|1uq|0|ud|0|?puq|0| （2-83） ?Id(p)?2???2?(p?1)Xd?ppXd?（p?1）Xdud|0|uq|0|?pud|0|1 （2-84） ?Iq(p)?2????pXq(p2?1)Xq（p?1）Xqp进行拉氏逆变换，求t?0时?id、?iq的初值
?id0?uq|0|ud|0|uq|0|?sint?cost??????XdXdXdpuq|0|?ud|0|uq|0|u|0|u|0| ＝?sintsin?0?costcos?0??Xd????XdXd ＝uq|0|u|0|?cos(t??0)??Xd??Xd
（2-85）
?iq0??ud|0|uq|0|u?sint?d|0|cost??Xq????XqXqud|0|u|0|u ?sintcos?0?|0|costsin?0 （2-86）
??Xq????XqXq ＝?ud|0|u|0| ＝??sin(t??0)??Xq??Xq求励磁电流故障分量初值。rf?0 ，，得 ?Uf(p)?0代入式（2-73） ?If(p)?Xad ?Id(p) （2-87）
Xf?if0??Xad?uq|0|u|0|-cos(t??) （2-88） ??0? ?Xf?XdXd?2）求时间常数。即求特征根，它由特征方程决定。特征方程为
D(p)?[r?pXd(p)](r?pXq)?XqXd(p)?0 （2-89）
该方程不好进行因式分解，因此分成定子、转子的时间常数分别考虑，以简化
分解。即分两步走：1）求转子绕组对应的时间常数，假设r?0；2）求定子绕组对
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应的时间常数，假设rf?rD?rQ?0。
A．求转子绕组对应的时间常数。令r?0，则
D(p)?(p2?1)Xd(p)Xq?0 （2-90）
p2?1?0或Xd(p)?0 （2-91）
由p2?1?0得
（对应定子绕组） （2-92） p??j1由Xd(p)?0得
2pXadXd??0
rf?pXf2p(XdXf?Xad)?Xdrf?0
2XadXd?X?XXf ?f??Tfd （2-93）
rfXdXd21XdXf?XadTd????pXdrf其中
Td?0?Tf?defXf，为励磁绕组的时间常数。 rfTd??Td?0?XdX??Tfd，称为直轴暂态分量衰减时间常数。相当于dd短接时，ffXdXd回路的时间常数。
rfXfσXσTd??ffdd?Td??Xad 图2-13 Td?的等值电路图
从等效电路图来看，也有
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