2006年全国中考数学压轴题集锦
1、（2006浙江金华）如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于
A(3,0),B(0,3)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x轴于点D.
(1)求直线AB的解析式; (2)若S梯形OBCD＝
43,求点C的坐标; 3(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的 三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] （1）直线AB解析式为：y=?（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，?3x+3． 333x+3），那么OD＝x，CD＝?x+3． 3332x?3． 6∴S梯形OBCD＝
?OB?CD??CD＝?2由题意：?3243x?3 ＝，解得x1?2,x2?4（舍去） 633） 3133433,S梯形OBCD＝，∴S?ACD?． OA?OB?2236∴ Ｃ（２，
方法二：∵ S?AOB?由OA=3OB，得∠BAO＝30°，AD=3CD．
∴ S?ACD＝
1333CD2＝CD×AD＝．可得CD＝．
2263∴ AD=１，OD＝２．∴C（２，
（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图
3）． 3 ①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，
1
∴P1（3，
3）． 33OB=1． 3 ②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=
∴P2（1，3）．
当∠OPB＝Rt∠时
③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30° 过点P作PM⊥OA于点M．
方法一： 在Rt△PBO中，BP＝
133OB＝，OP＝3BP＝． 222∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°， ∴ OM＝
1333333OP＝；PM＝3OM＝．∴P3（，）． 24444方法二：设Ｐ（x ，?33x+3），得OM＝x ，PM＝?x+3 33由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．
∵tan∠POM==
PM=OM?3x?3OA3 ，tan∠ABOC==3．
xOB∴?33333x+3＝3x，解得x＝．此时，P3（，）．
4434④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°． ∴ PM＝
33OM＝． 3433，）（由对称性也可得到点P4的坐标）． 44∴ P4（
当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.
综合得，符合条件的点有四个，分别是：
P1（3，
333333），P2（1，3），P3（，），P4（，）．
44344 2
2、（2006重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成?AC1D1和?BC2D2两个三角形（如图2所示）.将纸片?AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A,D1,D2,B始终在同一直线上），当点D1于点B重合时，停止平移.在平移过程中，C1D1与BC2交于点E,AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P. (1) 当?AC1D1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明
你的猜想；
(2) 设平移距离D2D1为x，?AC1D1与?BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数
关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原?ABC面积的若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.
C1C2C ABADD1D2 图1
图2
1. 4C1PFED1C2BAD2B图3
A P
[解]
（1）D1E?D2F.因为C1D，∥C2D12所以
?C1??AFD2.
又因为?ACB?90?，CD是斜边上的中线，
所以，DC?DA?DB，即C1D1?C2D2?BD2?AD1 所以，?C1??A，所以?AFD2??A 所以，AD2?D2F.同理：BD1?D1E.
又因为AD1?BD2，所以AD2?BD1.所以D1E?D2F
（2）因为在Rt?ABC中，AC?8,BC?6，所以由勾股定理，得AB?10. 即AD1?BD2?C1D1?C2D2?5
又因为D2D1?x，所以D1E?BD1?D2F?AD2?5?x.所以C2F?C1E?x
3
C Q D B
在?BC2D2中，C2到BD2的距离就是?ABC的AB边上的高，为
24. 5设?BED1的BD1边上的高为h，由探究，得?BC2D2∽?BED1，所以
h5?x. ?2455所以h?24(5?x)112(5?x)2 .S?BED1??BD1?h?25225又因为?C1??C2?90?，所以?FPC2?90?.
43,cosB?. 5534162x 所以PC2?x,PF?x ，S?FC2P?PC2?PF?552251126(5?x)2?x2 而y?S?BC2D2?S?BED1?S?FC2P?S?ABC?2252518224x?x(0?x?5) 所以y??255118224x?x?6 (3) 存在. 当y?S?ABC时，即?425552整理，得3x?20x?25?0.解得，x1?,x2?5.
351即当x?或x?5时，重叠部分的面积等于原?ABC面积的.
34又因为?C2??B，sinB??3、（2006山东济南）如图1，已知Rt△ABC中，?CAB?30，BC?5．过点A作
AE⊥AB，且AE?15，连接BE交AC于点P． （1）求PA的长；
（2）以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断BE与⊙A是否相切，并说明理由；
（3）如图2，过点C作CD⊥AE，垂足为D．以点A为圆心，r为半径作⊙A；以点C为圆心，R为半径作⊙C．若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相．
切，且使D点在⊙A的内部，B点在⊙A的外部，求r和R的变化范围． ．
E E
P C
Ｄ
A A B
P C B [解]
图1
图2
4
（1）?在Rt△ABC中，?CAB?30，BC?5， ?AC?2BC?10．
?AE∥BC，?△APE∽△CPB． ?PA:PC?AE:BC?3:1． ?PA:AC?3:4，PA?（2）BE与⊙A相切．
?在Rt△ABE中，AB?53，AE?15， ?tan?ABE??3?1015?． 42AE15??3，??ABE?60?． AB53???APB?90， 又??PAB?30，??ABE??PAB?90， ?BE与⊙A相切．
（3）因为AD?5，AB?53，所以r的变化范围为5?r?53．
当⊙A与⊙C外切时，R?r?10，所以R的变化范围为10?53?R?5； 当⊙A与⊙C内切时，R?r?10，所以R的变化范围为15?R?10?53．
4、（2006浙江嘉兴）某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC
由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知AB所在抛物线的解
??121x?8，BC所在抛物线的解析式为y?(x?8)2，且已知B(m,4)． 44（1）设P(x,y)是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；
析式为y??（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度
因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）． ①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）； ②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？
（3）在山坡上的700米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的
起点选择在山脚水平线上的点E处，OE?1600（米）．假设索道DE可近似地看成一
段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为y?高度．
1(x?16)2．试求索道的最大悬空．．28长度 高度 y7AD4B上山方向 5