∴点P的坐标为(-4,0) ∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0) (3)若∠CPD=∠OAB ∵∠CPA=∠OCP+∠COP 而∠OAB=∠COP=60°, ∴∠OCP=∠DPA 此时ΔOCP∽ΔADP ∴OP?OC
ADAP∵BD?5 AB8∴BD?5AB?5,
82AD=AB-BD=4-5=3
22AP=OA-OP=7-OP ∴
OP?4 37?OP2得OP=1或6
∴点P坐标为(1,0)或(6,0).
19、（2006四川攀枝花）已知抛物线y?ax2?bx?c与y轴的交点为C，顶点为M，直线
CM的解析式y??x?2并且线段CM的长为22
（1） 求抛物线的解析式。
（2） 设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且点A在B的左侧，求线
段AB的长。
（3） 若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。
[解]
M y C （G）A N O B MD 26
（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线y?ax2?bx?c?b4ac?b2?过点C（0,2），所以c=2，抛物线y?ax?bx?c的顶点M???,??在直线CM
2?2a4a?上，所以
4a?2?b24a?b2a?2,解得b?0或b??2 若b＝0，点C、M重合，不合题意，舍去，所以b＝－2。即M??11??a,2?a??
过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在Rt?CMQ中，CM2?CQ2?QM2
所以，8?(1)21a?[2?(2?a)]2，解得，a??12。 ∴所求抛物线为：y??12122x?2x?2 或y?2x?2x?2
（1）解法二：由题意得C(0 , 2),设点M的坐标为M（x ，y） ∵点M在直线y??x?2上，∴y??x?2 由勾股定理得CM?x2?(y?2)2，∵CM?22
∴x2?(y?2)2=22，即x2?(y?2)2?8
?y??x?2?x解方程组 1??2?x2?2x2?(y?2)2?8 得y1?4 y2?0
∴M（-2，4） 或 M‘
（2，0）
当M（-2，4）时，设抛物线解析式为y?a(x?2)2?4，∵抛物线过（0，2）点， ∴a??112，∴y??2x2?2x?2 当M‘
（2，0）时，设抛物线解析式为y?a(x?2)2
∵抛物线过（0，2）点，∴a?12，∴y?122x?2x?2 ∴所求抛物线为：y??12122x?2x?2 或y?2x?2x?2
（2）∵抛物线与x轴有两个交点， ∴y?12x2?2x?2不合题意，舍去。 27
∴抛物线应为：y??12x?2x?2 212x?2x?2?0，得 2抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴由?AB?x1?x2?42
（3）∵AB是⊙N的直径，∴r =22 ， N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN = 4 设直线y??x?2与x轴交于点D，则D（2，0），∴DN = 4，可得MN = DN，∴
?MDN?45?，作NG⊥CM于G，在Rt?NGD中，NG?DN?sin45??22= r
即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径 ∴直线CM与⊙N相切 20、（2006山东青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．
如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．
（1）当x为何值时，OP∥AC ?
（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）
[解] （1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ，
EGFG4FG?，?． ACBC864?6∴FG＝＝3cm．
8∴
∵当P为FG的中点时，OP∥EG ，EG∥AC ， ∴OP∥AC．
28
1FG12∴ x ＝＝×3＝1.5（s）． 21∴当x为1.5s时，OP∥AC ．
（2）在Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm． ∵EG∥AH ，
∴△EFG∽△AFH ．
EGEFFG??． AHAFFH453??∴． AHx?5FH43∴ AH＝（ x ＋5），FH＝（x＋5）．
55∴
过点O作OD⊥FP ，垂足为 D ．
∵点O为EF中点， ∴OD＝
1EG＝2cm． 2∵FP＝3－x ，
∴S四边形OAHP ＝S△AFH －S△OFP
11·AH·FH－·OD·FP 221431＝·（x＋5）·（x＋5）－×2×（3－x ） 25526217＝x＋x＋3 255（0＜x＜3）．
＝
（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．
13×S△ABC 246217131∴x＋x＋3＝××6×8 252425则S四边形OAHP＝∴6x2＋85x－250＝0 解得 x1＝
550， x2＝ －（舍去）． 23∵0＜x＜3， 5∴当x＝（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．
221、（2006河北）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出
发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式； （2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
29
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请
估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．
[解] （1）由题意知 CQ＝4t，PC＝12－3t，
∴S△PCQ =
A P
1PC?CQ??6t2?24t． 2D C Q B
∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称， ∴y=2S△PCQ ??12t2?48t． （2）当
CPCQ时，有PQ∥AB，而AP与BQ不平?CACB行，这时四边形PQBA是梯形，
∵CA=12，CB=16，CQ＝4t， CP＝12－3t，
∴
12?3t4t?，解得t＝2． 1216 ∴当t＝2秒时，四边形PQBA是梯形．
（3）设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M，如下图，
若PD∥AB，则∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC，
A P
D C Q
M B 从而
QMQD， ?ABAC∵QD=CQ=4t，AC＝12， AB=122?162?20， ∴QM=
20t． 320t3， 16若PD∥AB，则解得t＝
12?3tCPCM?，得?12CACB4t?12． 1112∴当t＝秒时，PD∥AB．
11（4）存在时刻t，使得PD⊥AB．
时间段为：2＜t≤3．
22、（2006河北课改）图14－1至图14－7的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格（每个小方格的边长均为1个单位长），其对称中心为点O．
如图14－1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O，它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O不动，正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；……），直到充满正方形ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．
另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图14－1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD的内侧边缘按A→B→C→D→A移动（即正方形MNPQ从
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