在Rt△OQA中，根据OQ?2,?AOQ?45?， 得Q点坐标为（2,?2）。 如图②，设四边形APQO为平行四边形 因为OQ∥PA，?APO?90?， 所以?POq?90?， 又因为OP?OQ 所以?PQO?45?， 因为 PQ∥OA， 所以 PQ?y轴。 设PQ?y轴于点H，
在Rt△OHQ中，根据OQ?2,?HQO?45?， 得Q点坐标为（?2,2）
所以符合条件的点Q的坐标为（2,?2）或（?2,2）。
15、（2006福建泉州）如图，在直角坐标系中，O为原点，A（4，12）为双曲线y?上的一点.
⑴求k的值；
⑵过双曲线上的点P作PB⊥x轴于B，连接OP，若Rt△OPB两直角边的比值为试求点P的坐标.
⑶分别过双曲线上的两点P1、P2，作P1B1⊥x轴于B1，P2B2⊥x轴于B2，连结OP1、OP2.设Rt△OP1B1、Rt△OP2B2的周长分别为l1、l2，内切圆的半径分别为r1、r2,若
y 试求
图②Q1-1O-11AxyPk（x>0）x1，4l1?2，l2r1的值. r2A [解] （1）依题意得
O 21 x 12=
k，k = 48 448 x （2）由（1）得双曲线解析式为y?设P（m，n）∴n?48 即 mn?48 mOB1m1?时，即? 可设m?z，n?4z. 当
PB4n4∴z·4z= 48，解得 z?23 ∴m?23，n?83 ∴P（23，83） 当
PB1?时，同理可求得P（83，23） OB4（3）在Rt△OP1B1中，设OB1=a1，P1B1=b1，OP1=c1，则P1（a1，b1），由（2）得a1b1=48；
在Rt△OP2B2中，设OB2=a2，P2B2=b2，OP2=c2，则P2（a2，b2），由（2）得
a2b2=48.
11∵（a1?b1?c1)?r1?a1b1?24 2211（a2?b2?c2)?r2?a2b2?24 22y P ∴(a1?b1?c1)?r1?(a2?b2?c2)?r2 即l1·r2 r1=l2·故
O B x l1r2? l2r1又∵
l1?2 l2∴
r2r1?2 即得1? r1r2216、(2006广东广州)已知抛物线y=x+mx-2m(m≠0)． (1)求证：该抛物线与X轴有两个不同的交点；
22
22
(2)过点P(0，n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边)，是 否存在实数m、n，使得AP=2PB?若存在，则求出m、n满足的条件；若不存在，
请说明理由．
[解]（1）△?m2?4?1?[?2m2]?9m2
∵m?0 ∴△?0
∴该抛物线与x轴有两个不同的交点。 （2）由题意易知点A、B的坐标满足方程：
x2?mx?2m2?n，即x2?mx?(2m2?n)?0
由于方程有两个不相等的实数根，因此△?0，即
m2?4?1?[?(2m2?n)]?0?9m2?4n?0………………….①
由求根公式可知两根为：
?m?9m2?4n?m?9m2xA?2，x??4mB2 ∴AB?x??m?9m2?4n?m?9m2?4nB?xA2?2?9m2?4n PB?x?m?9m2?4n?m?9m2?4nB?xP?2?0?2 分两种情况讨论：
第一种：点A在点P左边，点B在点P的右边 ∵AP?2PB ∴AB?3PB
∴9m2?4n?3??m?9m2?4n2?9m2?4n?3m……………….②
∴m?0……………………….③ 由②式可解得
n?0…………………………..④
第二种：点A、B都在点P左边 ∵AP?2PB ∴AB?PB
∴9m2?4n?0??m?9m2?4n2?39m2?4n?m……………….⑤
∴m?0……………………….⑥ 由⑤式可解得
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n??
202m……….⑦ 9综合①③④⑥⑦可知，满足条件的点P存在，此时m、n应满足条件：
m?0，n?0或n??
202m。 917、（2006湖北十堰）已知抛物线C1：y??x2?2mx?n（m，且m≠0，n?0）n为常数，的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B，连接
AC，BC，AB．
?b4ac?b2?注：抛物线y?ax?bx?c?a≠0?的顶点坐标为??，?．
2a4a??2（1）请在横线上直接写出抛物线C2的解析式：________________________； （2）当m?1时，判定△ABC的形状，并说明理由；
（3）抛物线C1上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．
y
[解] （1）y??x2?2mx?n．
（2）当m?1时，△ABC为等腰直角三角形． 理由如下：
如图：?点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上，
O x ?AC?BC．
过点A作抛物线C1的对称轴交x轴于D，过点C作CE?AD于E．
，?n?，?CE?1． ?当m?1时，顶点A的坐标为A?11又?点C的坐标为?0，n?，
?AE?1?n?n?1．?AE?CE．
从而∠ECA?45，?∠ACy?45．
由对称性知∠BCy?∠ACy?45，?∠ACB?90．
?????△ABC为等腰直角三角形．
（3）假设抛物线C1上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PC?AB?BC． 由（2）知，AC?BC，?AB?BC?AC．
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从而△ABC为等边三角形．
?∠ACy?∠BCy?30?．
?四边形ABCP为菱形，且点P在C1上，?点P与点C关于AD对称．
?PC与AD的交点也为点E，因此∠ACE?90??30??60?．
?点A，C的坐标分别为A?m，m2?n?，C?0，n?，
y
?AE?m2?n?n?m2，CE?m． AEm2在Rt△ACE中，tan60???3．
CEm??m?3，?m??3．
故抛物线C1上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，此时m??3．
18、（2006广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D． (1)求点B的坐标；
(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标； (3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且
[解] (1)作BQ⊥x轴于Q.
BD5=，求这时点P的坐标。 AB8∵ 四边形ABCD是等腰梯形, ∴∠BAQ＝∠COA＝60° 在RtΔBQA中,BA=4,
∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=23 AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2, ∴OQ=OA-AQ=7-2=5 ∵点B在第一象限内, ∴点B的的坐标为(5, 23)
(2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,
此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形 若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上, ∴点P的坐标为(4,0)
若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4
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