[解] （1）根据题意得到：E（3n，0）， G（n，－n）
当x＝0时，y＝kx＋m＝m，∴点F坐标为（0，m）
∵Rt△AOF中，AF2＝m2＋n2， ∵FB＝AF，
∴m2＋n2＝(-2n－m)2， 化简得：m＝－0.75n，
对于y＝kx＋m，当x＝n时，y＝0， ∴0＝kn－0.75n， ∴k＝0.75
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G，
yCDMEAGBFOxH?0?9n2a?3nb?c?2∴ ??n?na?nb?c
??0.75?c?11解得：a＝，b＝－，c＝－0.75n
4n2121∴抛物线为y=x－x－0.75n
4n2121?x?x?0.75n?y?解方程组：? 4n2??y?0.75x?0.75n得：x1＝5n，y1＝3n；x2＝0，y2＝－0.75n
∴H坐标是：（5n，3n），HM＝－3n，AM＝n－5n＝－4n， ∴△AMH的面积＝0.5×HM×AM＝6n2；
而矩形AOBC 的面积＝2n2，∴△AMH的面积∶矩形AOBC 的面积＝3:1，不随着点A的位置的改变而改变．
11、（2006湖南长沙）如图1，已知直线y??（1）求A，B两点的坐标；
（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．y y P B B
x O O
A A
16 11x与抛物线y??x2?6交于A，B两点． 24x
图1 图2
[解]
12?y??x?6??x1?6?x2??4?4 ?（1）解：依题意得?解之得?
y??3y?21?1?2?y??x??2，?3，)B?(，4 2 ?A(6
（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图1） 由（1）可知：OA?35 OB?25 y ?AB?55 ?OM?15 AB?OB?22B C Ｅ O D 图1
过B作BE⊥x轴，E为垂足
M A x
OCOM5?，?OC?， 由△BEO∽△OCM，得：
OBOE4 同理：OD?，?C?，0?，D?0，? 设CD的解析式为y?kx?b(k?0)
52?5?4????5?? 2?5?0?k?b?k?2???4 ?? ??5
b????5?b??2??25． 2（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交
1点的直线y??x?m上，并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图2）．
2 ?AB的垂直平分线的解析式为：y?2x?1?y??x?m??2 ??
1?y??x2?6??4 ?121x?x?m?6?0 4217
?抛物线与直线只有一个交点，
1?1? ?????4?(m?6)?0，
4?2??m?25?23? ?P?1，? 4?4?125x?中， 242 在直线GH：y???25??25??G?，0?，H?0，?
?2??4?255 4 设O到GH的距离为d，
?GH?B y H P G 11?GH?d??OG?OH22125512525??d??? 24224
5?d?52?AB∥GH， ?P到AB的距离等于O到GH的距离d． ?S最大面积?O A x
图2
1155125AB?d??55??． 222412、（2006北京海淀）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、
OD，且OD＝5。
（1）若sin∠BAD?3，求CD的长； 5 （2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留?）。
[解]
（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5 所以∠ADB＝90°，AB＝10
BD AB3BD3?，所以BD?6 又sin∠BAD?，所以
5105在Rt△ABD中，sin∠BAD?AD?AB2?BD2?102?62?8
因为∠ADB＝90°，AB⊥CD
18
所以DE·AB?AD·BD，CE?DE 所以DE?10?8?6 所以DE?24 5所以CD?2DE?48 5
（2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD
所以CB?BD，AC?AD
所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO
设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x
由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x 因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90° 所以4x?4x?x?90? 所以x＝10°
所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100° 所以∠AOC＝∠AOD＝100°
⌒⌒⌒⌒S扇形OAC?100125???52?? 3601813、（2006山东德州）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分
0)?43?，动点M，N分别从O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，别为(4，，，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点M作MP⊥OA，交AC于P，
连结NP，已知动点运动了x秒． （1）P点的坐标为（ ， ）（用含x的代数式表示）； （2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值； （3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由． y
3)，M(x，，0)N(4?x，3)，[解] （1）由题意可知，C(0， ?P点坐标为(x，3-C P Ｎ B 3x)． 4PC的面积为S，PC中，NC?4?x，（2）设△N在△N3O NC边上的高为x，其中0≤x≤4．
41?333?S?(4?x)?x?(?x2?4x)??(x?2)2?．
2?8823?S的最大值为，此时x?2．
2（3）延长MP交CB于Q，则有PQ?BC．
M A x 19
y ①若NP?CP，
?PQ?BC，NQ?CQ?x． ?3x?4，
4?x?．
3②若CP?CN，则CN?4?x，PQ?C Ｑ P Ｎ B O 35x，CP?x， 44M A x
516x，?x?． 49③若CN?NP，则CN?4?x．
3?PQ?， NQ?4?2x，
44?x??在Rt△PNQ中，PN2?NQ2?PQ2．
3128?(4?x)2?(4?2x)2?(x)2，?x?．
457416128综上所述，x?，或x?，或x?．
3957
14、（2006江苏常州）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B。
（1）点P在运动时，线段AB的长度在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；
（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。
[解] （1）线段AB长度的最小值为4
理由如下： 连接OP
因为AB切⊙O于P，所以OP⊥AB 取AB的中点C，则AB?2OC 当OC?OP时，OC最短， 即AB最短，此时AB?4 （2）设存在符合条件的点Q，
如图①，设四边形APOQ为平行四边形，
因为四边形APOQ为矩形
又因为OP?OQ
所以四边形APOQ为正方形 所以OQ?QA,?QOA?45?，
yB1-1O-11AxQyP1-1O-11QAx图① 20