题库:圆的证明与计算题
1.如图，AB是⊙O的直径，点D是?AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点F.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的长．
第1题图
(1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB＋∠EBA＝90°，
∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE， ∴∠EAB＝∠CBE， ∴∠ABE＋∠CBE＝90°， ∴CB⊥AB， ∵AB是⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线； (2)解：∵BD平分∠ABE， ∴∠ABD＝∠DBE， 如解图，连接DO，
第1题解图
∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵∠EBD＝∠OBD， ∴∠EBD＝∠ODB， ∴OD∥BE， PDPO∴PE＝PB， ∵PA＝AO， ∴PA＝AO＝OB， PO2∴PB＝3， PD2∴PE＝3， PD2∴＝3， PD＋DE∵DE＝2， ∴PD＝4.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线； 2
(2)若AE＝4，cosA＝5，求DF的长．
第2题图
（1）证明：如解图，连接OD，
G
第2题解图
∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B， 又∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝∠DFC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
(2)解：如解图，过点O作OG⊥AC，垂足为G， 1
∴AG＝2AE＝2. AG22
∵cosA＝OA＝OA＝5， ∴OA＝5，
∴OG＝OA2－AG2＝21， ∵∠ODF＝∠DFG＝∠OGF＝90°， ∴四边形OGFD为矩形， ∴DF＝OG＝21.
3如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连接AD.
(1)求证：AD＝AN；
(2)若AB＝42，ON＝1，求⊙O的半径．
第3题图
(1)证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD＝∠BCD， ∵AE⊥CD，AM⊥BC，
∴∠AEN＝∠AMC＝90°， ∵∠ANE＝∠CNM， ∴∠BAM＝∠BCD， ∴∠BAM＝∠BAD， 在△ANE与△ADE中， ∠BAM＝∠BAD??
， ?AE＝AE
??∠AEN＝∠AED
∴△ANE≌△ADE(ASA)， ∴AN＝AD；
(2)解：∵AB＝42，AE⊥CD, 1
∴AE＝2AB＝22， 又∵ON＝1，
∴设NE＝x，则OE＝x－1，NE＝ED＝x，OD＝OE＋ED＝2x－1，
如解图，连接AO，则AO＝OD＝2x－1，
第3题解图
∵△AOE是直角三角形，AE＝22，OE＝x－1，AO＝2x－1，