∴(22)2＋(x－1)2＝(2x－1)2， 4
解得x1＝2，x2＝－3(舍)， ∴AO＝2x－1＝3， 即⊙O的半径为3.
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF. (1)求证：∠1＝∠F；
5
(2)若sinB＝5，EF＝25，求CD的长．
第4题图
（1）证明：如解图，连接DE.
第4题解图
∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB＝90°. ∵E是AB的中点， ∴DA＝DB，
∴∠1＝∠B. ∵∠B＝∠F， ∴∠1＝∠F； (2)解：∵∠1＝∠F， ∴AE＝EF＝25， ∴AB＝2AE＝45.
在Rt△ABC中，AC＝AB·sinB＝4， ∴BC＝AB2－AC2＝8. 设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2， 即42＋x2＝(8－x)2， 解得x＝3， ∴CD＝3.
5.如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B，作?ABCD，连接BE，DO，CO. (1)求证：DA=DC； (2)求∠P及∠AEB的度数.
第5题图
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵CB⊥AE， ∴AD⊥AE， ∴∠DAO＝90°，
又∵直线DP和⊙O相切于点C， ∴DC⊥OC， ∴∠DCO＝90°，
∴在Rt△DAO和Rt△DCO中，
?DO＝DO
， ?
?AO＝CO
∴Rt△DAO≌Rt△DCO(HL)， ∴DA＝DC；
(2)解：∵CB⊥AE，AE是⊙O的直径， 1
∴CF＝FB＝2BC，
又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， 1
∴CF＝2AD， 又∵CF∥DA， ∴△PCF∽△PDA，
PCCF111∴PD＝AD＝2，即PC＝2PD，DC＝2PD.
由(1)知DA＝DC， 1
∴DA＝2PD，
∴在Rt△DAP中，∠P＝30°. ∵DP∥AB，
∴∠FAB＝∠P＝30°， 又∵∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝90°－30°＝60°.
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E. (1)求证：∠ABD＝∠ADE；
2520
(2)若⊙O的半径为6，AD＝3，求CE的长．
第6题图
（1）证明：如解图，连接OD.
第6题解图 ∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ADO＋∠ADE＝90°. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADO＋∠ODB＝90°. ∴∠ADE＝∠ODB， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠ABD ＝∠ADE;
2525
(2)解：∵AB＝AC＝2×6＝3，∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠ABC＝∠C，BD＝CD. ∵O为AB的中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵OD⊥DE， ∴AC⊥DE， 在Rt△ACD中， CD＝
AC2－AD2＝2520
（3）2－（3）2＝5，
∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠ADC＝90°， ∴△DEC∽△ADC，