CEDCCE5∴DC＝AC，即5＝25，
3
∴CE＝3.
7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB，点E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D. (1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．
第7题图
(1)证明：如解图①，连接OD，
第7题解图① 则∠DOB＝2∠DCB， 又∵∠A＝2∠DCB， ∴∠A＝∠DOB， 又∵∠A＋∠B＝90°， ∴∠DOB＋∠B＝90°， ∴∠BDO＝90°，
即OD⊥AB，
又∵OD是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线．
（2）解：如解图②，过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，
第7题解图②
1
∵OD＝OE＝BE＝2BO，∠BDO＝90°， ∴∠B＝30°， ∴∠DOB＝60°， ∴∠DCB＝30°， ∴OC＝2OM＝2， ∴OD＝2，
∴BD＝ODtan60°＝23.
8.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA，AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D. (1)求证：PA是⊙O的切线；
4
(2)若cos∠CAO＝5，且OC＝6，求PB的长．
第8题图
（1）证明：如解图，连接OB，
第8题解图
∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵OP⊥AB， ∴AC＝BC，
∴OP是AB的垂直平分线， ∴PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA， ∴∠PAO＝∠PBO. ∵PB为⊙O的切线， ∴∠OBP＝90°， ∴∠PAO＝90°，
∵OA为⊙O的半径， ∴PA是⊙O的切线； 4
(2)解：∵cos∠CAO＝5，
∴设AC＝4k，AO＝5k，由勾股定理可知OC＝3k， 34
∴sin∠CAO＝5，tan∠COA＝3， CO363
∴OA＝5，即OA＝5，解得OA＝10， AP4
∵tan∠POA＝tan∠COA＝AO＝3， 440AP∴＝3，解得AP＝3， 10∵PA＝PB， 40
∴PB＝PA＝3. 9.如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，∠ACD＝∠ABC. (1)求证：CA是⊙O的切线；
25
(2)若点E是BC上一点，已知BE＝6，tan∠ABC＝3，tan∠AEC＝3，求⊙O的直径．
第9题图
(1)证明：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ABC＋∠DCB＝90°， ∵∠ACD＝∠ABC， ∴∠ACD＋∠DCB＝90°， ∴∠ACB＝90°， 即BC⊥CA，
又∵BC是⊙O的直径， ∴CA是⊙O的切线；
5(2)解：在Rt△AEC中，tan∠AEC＝3， AC53∴EC＝3，EC＝5AC.
2
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝3， AC23∴BC＝3，BC＝2AC. ∵BC－EC＝BE＝6，
3320∴2AC－5AC＝6，解得AC＝3， 320
∴BC＝2×3＝10， 即⊙O的直径为10.
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F.