∴点F是线段CD中点，
1
∵点E是线段AC中点，则EF＝2AD， ∵∠BAC＝∠CAD，∠ADC＝∠ACB， ∴△ACD∽△ABC，
ACAD
则AB＝AC，即AC2＝AB·AD， 而AC＝2CE，AD＝2EF， ∴(2CE)2＝AB·2EF， 即4CE2＝AB·2EF， ∴2CE2＝AB·EF.
13.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF.
(1)求证：直线PA为⊙O的切线； (2)求证：EF2＝4OD·OP；
1
(3)若BC＝6，tanF＝2，求AC的长.
第13题图
（1）证明：如解图，连接OB，
第13题解图
∵PB是⊙O的切线， ∴∠PBO＝90°，
∵OA＝OB，BA⊥PO于点D， ∴AD＝BD，
∴点D为AB的中点，即OP垂直平分AB， ∴∠APO＝∠BPO， ∵∠ADP＝∠BDP＝90°， ∴△APD≌△BPD， ∴AP＝BP，
在△PAO和△PBO中， PA＝PB??
?∠APO＝∠BPO， ??OP＝OP
∴△PAO≌△PBO（SAS）， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∵OA为⊙O的半径， ∴直线PA为⊙O的切线； (2)证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°，
∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∠OPA＋∠AOP＝90°， ∴∠OAD＝∠OPA， ∴△OAD∽△OPA，
OAOD
∴OP＝OA，即OA2＝OD·OP， 又∵EF＝2OA， ∴EF 2＝4OD·OP；
(3)解：∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6， 1
∴OD＝2BC＝3， 设AD＝x，
ADx1
∴tanF＝DF＝DF＝2，
∴DF＝2x，∴OA＝OF＝2x－3， 在Rt△AOD中，由勾股定理得
(2x－3)2＝x2＋32，解得x1＝4或x2＝0(不合题意，舍去)， ∴OA＝2x－3＝5， ∵AC为⊙O的直径， ∴AC＝2OA＝10.
14.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连接BE.
(1)求证：AC平分∠DAB； (2)求证：PC=PF；
3
(3)若tan∠PCB＝4，BE＝52，求PF的长．
第14题图
（1）证明：如解图，连接OC，
第14题解图
∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA，
∵PC是⊙O的切线，且AD⊥CD， ∴∠OCP＝∠D＝90°， ∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC， 即AC平分∠DAB；
(2)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，
∴∠PCB＋∠ACD＝90°， 又∵∠CAD＋∠ACD＝90°， ∴∠CAB＝∠CAD＝∠PCB. ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE，
∵∠PFC＝∠CAB＋∠ACE，∠PCF＝∠PCB＋∠BCE， ∴∠PFC＝∠PCF， ∴PC＝PF；
(3)解：如解图，连接AE， ∵∠ACE＝∠BCE， ∴AE＝BE， ∴AE＝BE， 又∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，AB＝2BE＝10， ∴OB＝OC＝5，
∵∠PCB＝∠PAC，∠P＝∠P， ∴△PCB∽△PAC， PBBC∴PC＝CA，
3PBBC3
∵tan∠PCB＝tan∠CAB＝4，∴PC＝CA＝4， 设PB＝3x，则PC＝4x，
在Rt△POC中，根据勾股定理得，
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