设BF＝x，BO＝y， ∴
x3y＝4＝， 3＋y4＋x
7275解得x＝7，y＝7， 72100
∴AB＝AF＋BF＝4＋7＝7.
17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P. (1)求证：PD是⊙O的切线； (2)求证：△PBD∽△DCA；
(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．
第17题图
(1)证明：∵圆心O在BC上， ∴BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°.
如解图，连接OD.
第17题解图
∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠DAC. ∵∠DOC＝2∠DAC， ∴∠DOC＝∠BAC＝90°. 即OD⊥BC. ∵PD∥BC， ∴OD⊥PD.
又OD是⊙O的半径， ∴PD是⊙O的切线； (2)证明：∵PD∥BC， ∴∠P＝∠ABC. 又∠ABC＝∠ADC， ∴∠P＝∠ADC.
∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°， ∴∠PBD＝∠ACD. ∴△PBD∽△DCA；
(3)解：∵△ABC是直角三角形， ∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100. ∴BC＝10.
∵OD垂直平分BC， ∴DB＝DC.
∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°.
在等腰直角三角形BDC中．DC＝DB＝52. ∵△PBD∽△DCA， PBBD∴DC＝CA，
DC·BD52×5225
即PB＝CA＝＝4. 8
18.如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D，连接OE，AC，且∠P＝∠E，∠POE＝2∠CAB. (1)求证：CE⊥AB； (2)求证：PC是⊙O的切线；
(3)若BD＝2OD，且PB＝9，求tanP的值．
第18题图
（1）证明：如解图，连接OC，
第18题解图
∴∠COB＝2∠CAB， 又∵∠POE＝2∠CAB， ∴∠COD＝∠EOD， 又∵OC＝OE， ∴CE⊥AB;
(2)证明：∵CE⊥AB，∠P＝∠E， ∴∠P＋∠PCD＝∠E＋∠PCD＝90°， 又∠OCD＝∠E，
∴∠OCD＋∠PCD＝∠PCO＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线；
(3)解：设⊙O的半径为r，OD＝x，则BD＝2x，r＝3x， ∵CD⊥OP，OC⊥PC， ∴Rt△OCD∽Rt△OPC，
∴OC2＝OD·OP，即(3x)2＝x(3x＋9)， 3
解得x＝2或x=0（舍去）， 9∴⊙O的半径r为2，
同理可得PC2＝PD·PO＝(PB＋BD) ·(PB＋OB)＝162， ∴PC＝92，
OC2在Rt△OCP中，tanP＝PC＝4. 19.如图，AC是⊙O的直径，弦BE⊥AC于H，F为⊙O上的一点，过点F的直
线与AC的延长线交于点D，与BE的延长线交于点M，连接AF交BM于G，且MF＝MG.
(1)求证：MD为⊙O的切线；
(2)求证：当MD∥AB时，FG2＝MF·EG；
4
(3)在(2)的条件下，若cosM＝5，FD＝6，求AG的长．
第19题图
(1)证明：∵MF＝MG， ∴∠MFG＝∠MGF＝∠AGB， 如解图，连接FO， ∵OF＝AO， ∴∠OFA=∠OAF， ∵BE⊥AC，
∴∠AGH+∠OAF=∠MFG+∠OFA=90°， 即∠MFO＝90°， ∵OF为⊙O的半径， ∴MD为⊙O的切线； (2) 证明：∵MD∥AB， ∴∠M＝∠ABM，